Les automatismes : PROPORTIONNALITÉ, FONCTIONS

I. Reconnaître une situation de proportionnalité

Une situation est proportionnelle si on multiplie ou divise toujours les mêmes grandeurs par le même nombre.

Exemples :

• 1 crayon coûte 2 €. 5 crayons coûtent 10 €. ➜ Proportionnalité.

• 1 livre coûte 5 €, le 2e est à moitié prix ➜ Pas proportionnel.

Méthodes pour vérifier :

• Calculer les quotients : $\dfrac{10}{5} = \dfrac{2}{1}$.

• Vérifier les produits croisés : $a \times d = b \times c$.

• Observer si le tableau peut être rempli par une multiplication constante.

II. Résoudre un problème de proportionnalité

Procédures utiles :

• Retour à l’unité : on calcule pour "1" avant de multiplier.

• Utilisation d’un coefficient de proportionnalité : $y = k \times x$

• Produit en croix : pour compléter un tableau de proportionnalité.

Exemples :

Exemple 1 — Retour à l’unité :
Si 5 kg coûtent 12,5 €, combien coûtent 8 kg ?
→ 1 kg = $\dfrac{12,5}{5} = 2,5$ €
→ 8 kg = $2,5 \times 8 = 20$ €

Exemple 2 — Produit en croix :
Si 3 cahiers coûtent 6 €, combien coûtent 10 cahiers ?
→ $\dfrac{6}{3} = x/10$ → $3x = 60$ → $x = 20$ €

III. Appliquer une augmentation ou une diminution en pourcentage

Formules clés :

• Augmenter de $p$ :
  $N_{\text{final}} = N_{\text{initial}} \times \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$

• Diminuer de $p$ :
  $N_{\text{final}} = N_{\text{initial}} \times \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$

Exemples :

• Un prix passe de 80 € à 88 €. Quelle est l’augmentation en pourcentage ?
  $\dfrac{88 - 80}{80} \times 100 = 10$

• Un article est soldé 25 % → Nouveau prix :
  $60 \times (1 - 0{,}25) = 45$ €

IV. Lire et interpréter un graphique

Dans un graphique, deux axes représentent deux grandeurs :

• Axe des abscisses ($x$) : souvent le temps, la quantité, etc.

• Axe des ordonnées ($y$) : souvent le prix, la distance, etc.

Pour lire un graphique :

• Choisir une valeur de $x$, lire son image $y$.

• Repérer si la courbe passe par l’origine (0,0) ➜ fonction linéaire, donc proportionnalité.

• Plus la pente est forte, plus la grandeur augmente vite.

Exemple :

Un graphique donne la distance parcourue en fonction du temps à vitesse constante.
→ La courbe est une droite passant par l’origine
→ La situation est proportionnelle.

Rappel de vocabulaire sur les fonctions

• Variable : une grandeur qui change (ex. : le temps).

• Fonction : une règle qui associe une valeur à une autre (ex. : distance = vitesse × temps).

• Antécédent : valeur de départ (souvent $x$).

• Image : résultat (souvent $f(x)$ ou $y$).