Les automatismes : Espace et géométrie

👉 Des fiches d'entrainement complet à l'épreuve (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/college/troisieme

1. Lire et placer des coordonnées dans un repère orthogonal

Un repère orthogonal est formé de deux axes perpendiculaires :

• l’axe des abscisses (horizontal, noté $x$),

• l’axe des ordonnées (vertical, noté $y$).

Un point est repéré par ses coordonnées $(x ; y)$.

• Exemple : le point $A(3 ; 2)$ est situé à 3 unités sur l’axe horizontal et 2 unités sur l’axe vertical.

👉 Pour placer un point, on part de l’origine $(0 ; 0)$ et on avance selon $x$, puis selon $y$.
👉 Pour lire les coordonnées, on projette le point sur les deux axes.

2. Identifier des figures à partir d’un codage

Le codage d’une figure indique :

• les côtés de même longueur (traits identiques),

• les angles droits (petit carré),

• les côtés parallèles (flèches),

• les segments égaux (même symbole).

Triangles particuliers :

• équilatéral : trois côtés égaux.

• isocèle : deux côtés égaux.

• rectangle : un angle droit.

Quadrilatères particuliers :

• carré : côtés égaux et angles droits.

• rectangle : angles droits et côtés opposés égaux.

• losange : côtés égaux mais angles pas forcément droits.

• parallélogramme : côtés opposés parallèles.

• trapèze : un seul couple de côtés parallèles.

Médiatrice d’un segment :
droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu.

3. Angles et leurs types

Un angle est formé par deux demi-droites ayant la même origine.
On le note $\widehat{ABC}$, le sommet étant $B$.

$\begin{array}{l|l} \text{Type d’angle} & \text{Mesure} \\\\ \hline \text{nul} & 0° \\\\ \text{droit} & 90° \\\\ \text{plat} & 180° \\\\ \text{aigu} & < 90° \\\\ \text{obtus} & > 90° \text{ et } < 180° \\\\ \text{supplémentaires} & \text{leur somme vaut } 180° \\\\ \text{adjacents} & \text{partagent un côté} \\\\ \text{opposés par le sommet} & \text{égaux entre eux} \\ \end{array}$

4. Somme des angles d’un triangle

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180° :
$A + B + C = 180°$

Exemple :
si $A = 50°$ et $B = 70°$, alors $C = 180° - (50° + 70°) = 60°$.

5. Conversions d’unités

Longueurs : mm → cm → m → km
Chaque saut = ×10 ou ÷10.

Surfaces : mm² → cm² → m² → km² (chaque saut = ×100 ou ÷100)
Volumes : cm³ → dm³ → m³ (chaque saut = ×1 000 ou ÷1 000)

Masses : g ↔ kg (×1 000 ou ÷1 000)
Capacités : mL, cL, dL, L (×10 ou ÷10)
Temps : s, min, h, jour.

Correspondances utiles :
$\begin{array}{l|l} 1,\text{dm}^3 & = 1,\text{L} \\\\ 1,\text{m}^3 & = 1,000,\text{L} \\ \end{array}$

6. Solides usuels

• Cube : 6 faces carrées égales.

• Pavé droit (ou parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires.

• Prisme droit : bases polygonales identiques et faces rectangles.

• Cylindre : bases circulaires, surface latérale courbe.

• Pyramide : base polygonale et faces triangulaires.

• Cône : base circulaire et une pointe appelée sommet.

7. Périmètre et disque

• Périmètre d’un polygone = somme de la longueur de ses côtés.

• Périmètre d’un disque (circonférence) :
  $P = 2\pi r$
  où $r$ est le rayon du cercle.

8. Aires

$\begin{array}{l|l} \text{Figure} & \text{Formule de l’aire} \\ \hline \text{Rectangle} & A = L \times l \\\\ \text{Triangle} & A = \dfrac{b \times h}{2} \\\\ \text{Disque} & A = \pi r^2 \\ \end{array}$

9. Volumes

$\begin{array}{l|l} \text{Solide} & \text{Formule du volume} \\ \hline \text{Cube} & V = c^3 \\\\ \text{Pavé droit} & V = L \times l \times h \\\\ \text{Prisme droit} & V = A_{base} \times h \\\\ \text{Cylindre} & V = \pi r^2 h \\ \end{array}$

10. Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en $A$ :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Utilisation :

• pour calculer une longueur manquante,

• pour vérifier qu’un triangle est rectangle.

Condition :
le triangle doit être rectangle.

11. Théorème de Thalès

Si deux droites sont parallèles, alors les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles :

$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}$

Condition :

• les droites doivent être parallèles ;

• les points doivent être dans le même ordre sur chaque droite.

12. Trigonométrie : cosinus

Dans un triangle rectangle :
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent à l’angle}}{\text{hypoténuse}}$

Exemple :
si $\cos(A) = 0,8$ et l’hypoténuse = 10 cm →$côté\ adjacent = 0,8 \times 10 = 8$ cm.

Condition :
la formule ne s’applique que dans un triangle rectangle.

13. Symétries et translation

Symétrie axiale : une figure est le miroir de l’autre par rapport à un axe (on plie suivant l'axe).
Symétrie centrale : une figure est retournée autour d’un centre $O$.
Translation : déplacement parallèle sans rotation (comme le bateau qui glisse sur l'eau).

Propriétés conservées :

• longueur des segments,

• mesure des angles,

• parallélisme,

• alignement des points.

À retenir pour bien t’entraîner

✔ Savoir lire et placer des coordonnées.
✔ Reconnaître les figures codées et leurs propriétés.
✔ Connaître les différents types d’angles.
✔ Maîtriser les formules de périmètre, d’aire et de volume.
✔ Appliquer Pythagore, Thalès et le cosinus uniquement dans les bons contextes.
✔ Identifier les transformations géométriques.