Les automatismes : Nombres et calculs

👉 Des fiches d'entrainement complet à l'épreuve (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/college/troisieme

1. Écriture décimale des fractions simples

$\dfrac{1}{2} = 0,5 \quad ; \quad \dfrac{1}{4} = 0,25 \quad ; \quad \dfrac{3}{4} = 0,75 \quad ; \quad \\ \\ \dfrac{3}{2} = 1,5 \quad ; \quad \dfrac{4}{2} = 2 \quad ; \quad \dfrac{5}{2} = 2,5 \quad ; \quad \\ \\ \dfrac{1}{10} = 0,1 \quad ; \quad \dfrac{100}{100} = 1 \quad ; \quad \dfrac{7}{1} = 7$

👉 Astuce : diviser le numérateur par le dénominateur donne directement la valeur décimale.

2. Comparer et calculer avec des nombres décimaux (positifs ou négatifs)

On compare chiffre par chiffre à partir de la virgule.
Exemple : $3,45 < 3,5$.

Règles de signes :
$(+) + (+) = (+) \quad ; \quad \\ (-) + (-) = (-) \quad ; \quad \\ (+) + (-) \Rightarrow \text{on garde le signe du plus grand en valeur absolue.}$

$(+) \times (+) = (+) \quad ; \quad\\ (+) \times (-) = (-) \quad ; \quad\\ (-) \times (-) = (+)$

3. Simplifier et calculer avec des fractions

• Simplifier : diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
  Exemple : $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

• Additionner ou soustraire : mettre au même dénominateur.
  Exemple : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

• Multiplier : multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
  Exemple : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{10}$

• Diviser : multiplier par l’inverse.
  Exemple : $\dfrac{4}{9} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$

4. Fraction d’un nombre et pourcentages simples

Le tiers d’un nombre = diviser par 3 : $18 \div 3 = 6$
Le quart d’un nombre = diviser par 4 : $12 \div 4 = 3$

$a\%$ de $c = \dfrac{a}{100} \times c$

$\begin{array}{c|c} \text{Pourcentage} & \text{Équivalent} \\ \\ \hline 100\% & c \\ \\ 50\% & \dfrac{c}{2} \\ \\ 25\% & \dfrac{c}{4} \\ \\ 10\% & \dfrac{c}{10} \\ \\ 1\% & \dfrac{1}{100} \\ \end{array}$

5. Écritures multiples d’un même nombre

Exemple :
$1,2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} = 1 + \dfrac{1}{5} = 120\% = \dfrac{120}{100}$

👉 Astuce : déplacer la virgule d’un rang vers la droite revient à multiplier par 10.

6. Notation scientifique

Un nombre s’écrit sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$.

$3,500 = 3,5 \times 10^3 \quad ; \quad\\ 0,0042 = 4,2 \times 10^{-3}$

$10^3 = 1,000 \quad ; \quad 10^{-3} = 0,001$

👉 Puissance positive → virgule déplacée vers la droite
👉 Puissance négative → virgule déplacée vers la gauche

7. Carrés des nombres de 1 à 12

$\begin{array}{c|c} n & n^2 \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ 6 & 36 \\ 7 & 49 \\ 8 & 64 \\ 9 & 81 \\ 10 & 100 \\ 11 & 121 \\ 12 & 144 \\ \end{array}$

👉 Astuce :

• Les carrés de nombres finissant par 5 se terminent toujours par 25 (ex. $5^2 = 25$, $15^2 = 225$).

• Les carrés de nombres pairs finissent souvent par 4, 6 ou 0.

8. Critères de divisibilité

$\begin{array}{c|l} \text{Divisible par} & \text{Règle} \\ \hline 2 & \text{le chiffre des unités est pair} \\ 3 & \text{la somme des chiffres est divisible par 3} \\ 5 & \text{le chiffre des unités est 0 ou 5} \\ 9 & \text{la somme des chiffres est divisible par 9} \ \end{array}$

9. Double, triple, moitié, carré, prédécesseur, successeur

$\begin{array}{l|l} \text{Opération} & \text{Formule} \\ \\ \hline \text{Double} & 2 \times n \\ \\ \text{Triple} & 3 \times n \\\\ \text{Moitié} & \dfrac{n}{2} \\\\ \text{Carré} & n^2 \\\\ \text{Prédécesseur} & n - 1 \\\\ \text{Successeur} & n + 1 \\ \end{array}$

10. Expressions littérales

• Simplifier : on regroupe les termes semblables
  Exemple : $3x + 2x = 5x$

• Calculer : on remplace la lettre par sa valeur
  Exemple : $2x + 3$ pour $x = 4$ → $2 \times 4 + 3 = 11$

11. Développer et factoriser

Développer :
$3(x + 2) = 3x + 6$
$2(a - 5) = 2a - 10$

Factoriser :
$5x + 10 = 5(x + 2)$

12. Équations simples

$\begin{array}{l|l}\text{Équation} & \text{Solution} \\ \hline ax = c & x = \dfrac{c}{a} \\ x + b = c & x = c - b \\ ax + b = c & x = \dfrac{c - b}{a} \\ \end{array}$

👉 Vérifie toujours la solution en la remplaçant dans l’équation.

13. Lecture et placement de points sur une droite graduée

• Abscisse positive → à droite de 0

• Abscisse négative → à gauche de 0

• Origine → point d’abscisse 0

• Milieu entre deux nombres :
  $M = \dfrac{a + b}{2}$

À retenir pour bien t’entraîner

✔ Maîtriser les correspondances fraction ↔ décimal ↔ pourcentage
✔ Être à l’aise avec les signes $(+)$ et $(-)$
✔ Connaître les carrés parfaits par cœur
✔ Reconnaître les critères de divisibilité
✔ Simplifier et développer sans erreur
✔ Lire et placer des points sur une droite graduée