Rappels de cours

1 Factoriser une expression

Factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité, soit les identités remarquables .

2 Propriété de distributivité

Quels que soient les nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ et $f$ , on a :

$a \times b + a \times c = a \times (b + c)$

$(a x + b) (c x + d) + (a x + b) (e x + f)$

$= (a x + b) [(c x + d) + (e x + f)]$

Méthodes

Factoriser à l’aide de la propriété de distributivité

Factoriser les expressions suivantes :

$A = 3 x^{2} - 9 x$

$B = {(2 x + 7)}^{2} - 3 (2 x + 7) (- x + 1)$

Repère
conseils
Pour factoriser $A$ , remarquez que $3 x$ est un facteur commun.
Pour factoriser $B$ , remarquez que $(2 x + 7)$ est un facteur commun.

Repère
Solution
$A = 3 x \times x - 3 x \times 3$
Mettons $3 x$ en facteur. Alors $A = 3 x (x - 3)$ .
$B = (2 x + 7) (2 x + 7) - 3 (2 x + 7) (- x + 1)$
Mettons $(2 x + 7)$ en facteur :
$B = (2 x + 7) [(2 x + 7) - 3 (- x + 1)]$
$B = (2 x + 7) (2 x + 7 + 3 x - 3)$
$B = (2 x + 7) (5 x + 4)$

Factoriser à l’aide des identités remarquables

Factoriser les expressions suivantes :

$C = 9 x^{2} - 30 x + 25$

$D = 64 x^{2} - 121$

$E = {(- z + 3)}^{2} - {(4 + 3 z)}^{2}$

$F = 4 - 9 x^{2} + (2 + 3 x) (- 5 x + 8)$

Repère
conseils
Pour factoriser l’expression $C$ , utilisez l’identité remarquable :
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ .
Pour factoriser les expressions $D$ et $E$ , utilisez l’identité remarquable : $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .
Pour factoriser $F$ , utilisez une identité remarquable puis la propriété de distributivité.

Repère
Solution
$C = {(3 x)}^{2} - 2 \times (3 x) \times 5 + 5^{2}$ , donc $C = {(3 x - 5)}^{2}$ .
À noter ! Pour reconnaître les identités remarquables, commencez par repérer les nombres élevés au carré.
$D = {(8 x)}^{2} - {(11)}^{2}$ , donc $D = (8 x + 11) (8 x - 11)$ .
Posons $a = - z + 3$ et $b = 4 + 3 z$ , alors l’identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ permet d’écrire :
$E = [(- z + 3) + (4 + 3 z)] [(- z + 3) - (4 + 3 z)]$
$E = (- z + 3 + 4 + 3 z) (- z + 3 - 4 - 3 z)$
$E = (2 z + 7) (- 4 z - 1)$ .
Posons $G = 4 - 9 x^{2}$ .
On a $G = 2^{2} - {(3 x)}^{2}$ , soit $G = (2 + 3 x) (2 - 3 x)$ d’après l’identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .
Alors : $F = (2 + 3 x) (2 - 3 x) + (2 + 3 x) (- 5 x + 8)$ .
$F = (2 + 3 x) [(2 - 3 x) + (- 5 x + 8)],$
soit $F = (2 + 3 x) (- 8 x + 10)$ .
Aide Gardez sous les yeux les différentes identités remarquables (sur une fiche par exemple) lorsque vous essayez de résoudre ces exercices.

Factoriser des expressions