Rappels de cours

1 Développer une expression

Développer, c’est transformer un produit en somme.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité soit les identités remarquables .

2 Propriété de distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l’addition, c’est-à-dire que, quels que soient les nombres $a$ , $b$ , $c$ et $d$ , on a :

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

$(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Méthodes

Développer à l’aide de la propriété de distributivité

Développer puis réduire les expressions suivantes :

$A = 5 x (2 x - 4)$

$B = (2 x - 5) (- 4 x + 3)$

$C = (x^{2} - x + 1) (x + 1)$

Repère
conseils
Pour développer, appliquez la distributivité.
Pour réduire, effectuez les sommes algébriques de même nature.
Par exemple : $5 x^{2} - 2 x^{2} = (5 - 2) x^{2} = 3 x^{2}$ .

Repère
Solution
$A = 5 x \times 2 x - 5 x \times 4$
$B = 2 x \times (- 4 x) + 2 x \times 3 - 5 \times (- 4 x) - 5 \times 3$ , soit $B = - 8 x^{2} + 26 x - 15$ .
$C = x^{2} \times x + x^{2} \times 1 - x \times x - x \times 1 + x \times 1 + 1 \times 1$
$= x^{3} + x^{2} - x^{2} - x + x + 1$ ,
soit $C = x^{3} + 1$ .

Développer à l’aide des identités remarquables

Développer puis réduire les expressions suivantes :

$A = 2 {(2 x + 3)}^{2}$

$B = (1 + 3 x) (1 - 3 x)$

$C = {(3 - 4 x)}^{2} - 5 x (3 - 4 x)$

Repère
conseils
Appliquez le développement d’une identité remarquable judicieusement choisie.

Repère
Solution
Utilisons l’identité remarquable ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
avec $a = 2 x$ et $b = 3$ :
$A = 2 [{(2 x)}^{2} + 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2}]$
$A = 2 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ ou encore $A = 8 x^{2} + 24 x + 18$ .
Utilisons l’identité remarquable $(a + b) \times (a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 1$ et $b = 3 x$ :
$B = 1^{2} - {(3 x)}^{2}$ , soit $B = 1 - 9 x^{2}$ .
Pour développer ${(3 - 4 x)}^{2}$ , utilisons l’identité remarquable ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ avec a = 3 et b = 4x pour développer $5 x (3 - 4 x)$ , utilisons la distributivité :
$C = (9 - 24 x + 16 x^{2}) - (15 x - 20 x^{2})$
$C = 9 - 24 x + 16 x^{2} - 15 x + 20 x^{2}$
ou encore $C = 36 x^{2} - 39 x + 9$ .

Développer pour mieux calculer mentalement

1. Développer puis réduire l’expression $E = {(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2}$ .

2. En déduire, sans calculatrice, le nombre $F = 51^{2} - 49^{2}$ .

Repère
Solution
1. Utilisons l’identité remarquable $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ avec a = n + 1 et b = n – 1 :
$E = [(n + 1) + (n - 1)] [(n + 1) - (n - 1)]$ ,
soit $E = [n + 1 + n - 1] [n + 1 - n + 1]$ ou encore $E = 4 n$ .
Nous avons démontré que $E = {(n + 1)}^{2} - {(n - 1)}^{2} = 4 n$ .
2. Remplaçons $n$ par 50 dans l’expression $E$ .
Alors : ${(50 + 1)}^{2} - {(50 - 1)}^{2} = 4 \times 50$ .
Le nombre $F$ est égal à 200.

Développer puis réduire des expressions