Développer puis réduire des expressions

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Légende de la leçon

Vert : définition

I. Rappels de cours

1) Développer une expression

Développer, c’est transformer un produit en somme.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité soit les identités remarquables.

2) Propriété de distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l’addition, c’est-à-dire que, quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :

  • a×(b+c)=a×b+a×c 
  • (a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d

II. Méthodes

1) Développer à l’aide de la propriété de distributivité

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=5x(2x−4)

B=(2x−5)(− 4x+3)

C=(x2−x+1)(x+1)

Conseils

  • Pour développer, applique la distributivité.
  • Pour réduire, effectue les sommes algébriques de même nature.

Par exemple : 5x2−2x2=(5−2)x2=3x2.

Solution

  • A=5x×2x−5x×4

932402-Eqn338b

  • B=2x×(− 4x)+2x×3−5×(− 4x)−5×3, soit B=− 8x2+26x−15.
  • C=x2×x+x2×1−x×x−x×1+x×1+1×1

=x3+x2−x2−x+x+1,

soit C=x3+1.

2) Développer à l’aide des identités remarquables

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=2(2x+3)2

B=(1+3x)(1−3x)

C=(3−4x)2−5x(3−4x)

Conseils

Applique le développement d’une identité remarquable judicieusement choisie.

Solution

  • Utilisons l’identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2

avec a=2x et b=3 :

A=2[(2x)2+2×2x×3+32]

A=2(4x2+12x+9) ou encore A=8x2+24x+18.

  • Utilisons l’identité remarquable (a+b)×(a−b)=a2−b2 avec a=1 et b=3x :

B=12−(3x)2, soit B=1−9x2.

  • Pour développer (3−4x)2, utilisons l’identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2 avec a = 3 et b = 4x  pour développer 5x(3−4x), utilisons la distributivité :

C=(9−24x+16x2)−(15x−20x2)

C=9−24x+16x2−15x+20x2

ou encore C=36x2−39x+9.

3) Développer pour mieux calculer mentalement

1. Développer puis réduire l’expression E=(n+1)2−(n−1)2.

2. En déduire, sans calculatrice, le nombre F=512−492.

Solution

1. Utilisons l’identité remarquable a2−b2=(a+b)(a−b) avec a = n + 1 et b = n – 1 :

E=[(n+1)+(n−1)][(n+1)−(n−1)],

soit E=[n+1+n−1][n+1−n+1] ou encore E=4n.

Nous avons démontré que E=(n+1)2−(n−1)2=4n.

2. Remplaçons n par 50 dans l’expression E.

Alors : (50+1)2−(50−1)2=4×50.

Le nombre F est égal à 200.