Appliquer des identités remarquables

Rappels de cours

Identités remarquables

Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$, nous avons :

• ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$  (1)

• ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$ (2)

• $a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$  (3)

remarqueN’oubliez pas que les identités remarquables se lisent dans les deux sens. Par exemple, (3) peut se lire : $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$.

Méthodes

Reconnaître les identités remarquables

Compléter les égalités suivantes :

a. ${\left(2x+\dots \right)}^2=\dots +\dots +49$

b. ${\left(\dots -3\right)}^2=\dots -24y+\dots$

c. ${\left(\dots -\dots \right)}^2=64z^2-80z+\dots$

d. $9y^2-84y+\dots ={\left(\dots -\dots \right)}^2$

Repère
conseils

Écrivez côte à côte l’égalité donnée et l’identité remarquable qui lui ressemble le plus.

Repère
Solution

a. ${\left(2x+\dots \right)}^2=\dots +\dots +49$ ressemble à

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Nous remarquons alors que $a=2x$ et $b=+7$.

Conclusion : ${\left(2x+7\right)}^2=4x^2+28x+49$.

b. ${\left(\dots -3\right)}^2=\dots -24y+\dots$ ressemble à

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Nous remarquons alors que $b=3$ et $2ab=24y$.

En remplaçant $b$ par 3, nous avons $6a=24y$, soit $a=4y$.

Conclusion : ${\left(4y-3\right)}^2=16y^2-24y+9$.

c. ${\left(\dots -\dots \right)}^2=64z^2-80z+\dots$ ressemble à

${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

avec $a^2=64z^2$ et $2ab=80z$, soit $ab=40z$.

Alors nous pouvons prendre $a=8z$ et $b=5$.

Conclusion : ${\left(8z-5\right)}^2=64z^2-80z+25$.

d. $9y^2-84y+\dots ={\left(\dots -\dots \right)}^2$ ressemble à ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

avec $9y^2=a^2$ et $84y=2ab$ ou $42y=ab$.

Alors nous pouvons prendre $a=3y$ et $b=14$.

Conclusion : $9y^2-84y+196={\left(3y-14\right)}^2$.

Utiliser les identités remarquables pour calculer mentalement

Calculer $A$, $B$ et $C$ sans utiliser de calculatrice.

$A=101\times 99$   $B={29}^2$   $C={51}^2$

Repère
conseils

• Pour $A$, remarquez que $101=100+1$ et $99=100–1$.

• Pour $B$, remarquez que $29=30–1$.

• Pour $C$, remarquez que $51=50+1$.

Utilisez alors l’identité remarquable appropriée.

Repère
Solution

• Nous avons $A=\left(100+1\right)\times \left(100-1\right)$.

Nous savons que $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$.

Alors $A={100}^2-1^2$ ou encore $A=10000-1=9999$.

• $B={\left(30-1\right)}^2$ et nous savons que ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Alors $B={30}^2-2\times 30\times 1+1^2$ ou encore $B=900-60+1$, soit $B=841$.

• $C={\left(50+1\right)}^2$ et nous savons que ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

À noter ! Vous pouvez vérifier tous ces résultats avec votre calculatrice.

Alors $C={50}^2+2\times 50\times 1+1^2$

ou encore $C=2500+100+1$,

soit $C=2601$.