Agrandir et réduire des solides

Rappels de cours

Agrandissement et réduction

Lorsque toutes les dimensions d’une figure $F$ sont multipliées par un même nombre $k$, on obtient une figure $F^{\prime }$ qui vérifie les propriétés suivantes :

• Si $k>1$, $F^{\prime }$est un agrandissement de $F$.

• Si $0<k<1$, $F^{\prime }$ est une réduction de $F$.

• L’aire de $F^{\prime }$ se calcule en multipliant l’aire de $F$ par $k^2$.

• Le volume de $F^{\prime }$ se calcule en multipliant le volume de $F$ par $k^3$.

Méthodes

Calculer un coefficient d’agrandissement

Une photographie d’identité rectangulaire possède une largeur de 3,5 cm et une hauteur de 4,5 cm. Elle est agrandie et ses nouvelles dimensions sont : largeur 14 cm et hauteur 18 cm.

Quel est le coefficient d’agrandissement ?

Repère
Solution

Nous pouvons remarquer que $\frac{14}{\mathrm{3,5}}=\frac{18}{\mathrm{4,5}}=4$.

Le coefficient d’agrandissement est égal à 4.

C’est aussi le coefficient de proportionnalité.

Calculer l’aire d’un agrandissement

La maquette d’un terrain de rugby de forme rectangulaire possède les dimensions suivantes : longueur $\text{4}0\text{cm}$ et largeur $\text{27},\text{6}\text{cm}$.

a. Quelle est l’aire de cette maquette ?

b. Sachant que la maquette est à l’échelle $\frac{\text{1}}{\text{250}}$, déduire de l’aire de la maquette l’aire réelle du terrain de rugby.

Repère
Conseils

Identifiez le coefficient d’agrandissement du terrain par rapport à la maquette.

 

Repère
Solution

a. Soit $a$ l’aire de la maquette. Alors $a=40\times \mathrm{27,6}{\text{cm}}^2$, soit $a=1104{\text{cm}}^2$.

b. Le terrain de rugby est un agrandissement de la maquette dans le rapport 250. Son aire vaut $A={250}^2\times 1104$, soit $A=69000\text{000}{\text{cm}}^2$ ou encore $\text{6}\text{9}00{\text{m}}^2$.

Calculer le volume d’une réduction

Neptune possède un aquarium ayant la forme d’un parallélépipède rectangle et qui peut contenir au maximum 198 L d’eau. Il décide d’en acheter un plus petit ayant la même forme mais dont les trois dimensions sont une réduction de 20 % des dimensions du premier aquarium.

a. Calculer la contenance exacte en ${\text{cm}}^3$ du second aquarium.

b. En fait, le second aquarium possède une longueur de 72 cm et une largeur de 32 cm. Quelle est la hauteur du premier aquarium ?

Repère
Conseils

Afin de ne pas perdre d’information, notez les dimensions du premier aquarium dans un premier tableau et les dimensions du second aquarium dans un second tableau.

 

Repère
Solution

a. Les dimensions du second aquarium sont une réduction de 20 % des dimensions du premier aquarium  cela signifie que les dimensions du second aquarium sont égales à 80 % des dimensions du premier aquarium. Il s’agit donc d’une réduction de coefficient 0,8.

Notons $V_1$ et $V_2$ les volumes respectifs du premier et du second aquarium.

$V_2={\left(\mathrm{0,8}\right)}^3\times V_1$ soit $V_2={\left(\mathrm{0,8}\right)}^3\times 198=\mathrm{101,376}\text{L}$ ou $V_2=101376{\text{cm}}^3$.

b. La longueur $L$ du premier aquarium est égale à $\frac{72}{\mathrm{0,8}}$, soit 90 cm.

La largeur $l$ du premier aquarium est égale à $\frac{32}{\mathrm{0,8}}$, soit 40 cm.

La hauteur $h$ du premier aquarium est telle que $90\times 40\times h=198{\text{000 cm}}^3$.

Nous obtenons $h=55\text{ cm}$.