Connaître les fonctions linéaires

Rappels de cours

1 Définition d’une fonction linéaire

Soit $a$ un nombre réel donné.

 La fonction $f$ qui, au nombre $x,$ fait correspondre le nombre $ax$ est appelée fonction linéaire.

On note $f:x\mapsto ax$ ou encore $f\left(x\right)=ax$.

 Une fonction linéaire reflète une situation de proportionnalité.

2 Représentation graphique d’une fonction linéaire

 La représentation graphique d’une fonction linéaire $f:x\mapsto ax$ est une droite qui passe par l’origine du repère.

Il suffit donc de connaître un point appartenant à la droite (autre que l’origine) pour la tracer.

 $a$ est appelé le coefficient directeur de la droite.

Méthodes

Rechercher des images et des antécédents

Monsieur Toutaubeurre vend de nombreux gâteaux (tous au même prix). Pour gagner du temps, il a collé sur son comptoir le tableau suivant, mais certaines données ont été malencontreusement effacées :

a. Compléter le tableau.

b. On note $x$ le nombre de gâteaux achetés par un client et $f\left(x\right)$ le prix que ce dernier doit payer. Compléter l’expression algébrique : $f\left(x\right)=\dots \times x$.

Repère
conseils

Utilisez le fait que 6 gâteaux coûtent 19,20 euros pour obtenir le prix d’un gâteau.

 

Repère
Solution

a.

Nombre de gâteaux	1	2	3	5	6	9	12	18
Prix à payer (en euros)	3,20	6,40	9,60	16	19,20	28,80	38,40	57,60

b. D’après le tableau précédent, nous savons qu’un gâteau coûte 3,20 euros, donc $f\left(x\right)=\mathrm{3,2}x$.

Utiliser la représentation graphique d’une fonction linéaire

Soit un repère orthonormal où l’unité choisie est le centimètre.

a. Représenter graphiquement la fonction linéaire $h:x\mapsto -3x$.

b. Répondre en utilisant la représentation graphique de $h$ :

• quelle est l’image par $h$ du nombre $-\text{2}$ ?

• quel nombre a pour image le nombre $-\text{ 4},\text{5}$ ?

c. Répondre à la question b en effectuant les calculs appropriés.

Repère
conseils

c. Utilisez les expressions $h\left(x\right)=-3x$ et aussi $x=-\frac{h\left(x\right)}{3}$.

 

Repère
Solution

a. La fonction $h$ est représentée par la droite 𝒟 qui passe par l’origine $\text{O}$ du repère et par le point $\text{A}\left(-13\right)$.

b. • Le point B, situé sur la droite 𝒟 et d’abscisse – 2, a pour ordonnée + 6. Donc l’image de – 2 par $h$ est + 6.

• Le point C, situé sur la droite 𝒟 et d’ordonnée – 4,5, a pour abscisse + 1,5. Donc le nombre 1,5 a pour image le nombre – 4,5 par $h$.

c. Par le calcul, nous retrouvons que :

• l’image du nombre $-2$ par $h$ est $h\left(-2\right)=-3\left(-2\right)=6$ 

• le nombre qui a pour image $-\mathrm{4,5}$ par la fonction $h$ est le nombre $x=-\frac{-\mathrm{4,5}}{3}$, soit $x=\mathrm{1,5}$.