Connaître les fonctions linéaires

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Rappels de cours

1) Définition d’une fonction linéaire

Soit a un nombre réel donné.

 La fonction f qui, au nombre x, fait correspondre le nombre ax est appelée fonction linéaire.

On note f:x↦ax ou encore f(x)=ax.

 Une fonction linéaire reflète une situation de proportionnalité.

2) Représentation graphique d’une fonction linéaire

 La représentation graphique d’une fonction linéaire f:x↦ax est une droite qui passe par l’origine du repère.

Il suffit donc de connaître un point appartenant à la droite (autre que l’origine) pour la tracer.

 a est appelé le coefficient directeur de la droite.

II. Méthodes

1) Rechercher des images et des antécédents

Monsieur Toutaubeurre vend de nombreux gâteaux (tous au même prix). Pour gagner du temps, il a collé sur son comptoir le tableau suivant, mais certaines données ont été malencontreusement effacées :

Nombre de gâteaux	1		3	5	6	9	12
Prix à payer (en euros)		6,40			19,20			57,60

a. Compléter le tableau.

b. On note x le nombre de gâteaux achetés par un client et $f(x)$ le prix que ce dernier doit payer. Compléter l’expression algébrique : $f(x)=...\times x$.

Conseils

Utilise le fait que 6 gâteaux coûtent 19,20 euros pour obtenir le prix d’un gâteau.

Solution

a.

Nombre de gâteaux	1	2	3	5	6	9	12	18
Prix à payer (en euros)	3,20	6,40	9,60	16	19,20	28,80	38,40	57,60

b. D’après le tableau précédent, nous savons qu’un gâteau coûte 3,20 euros, donc $f(x)=3,2x$.

2) Utiliser la représentation graphique d’une fonction linéaire

Soit un repère orthonormal où l’unité choisie est le centimètre.

a. Représenter graphiquement la fonction linéaire h:x ↦− 3x.

b. Répondre en utilisant la représentation graphique de h :

• quelle est l’image par h du nombre $-2$ ?

• quel nombre a pour image le nombre $-4,5$ ?

c. Répondre à la question b en effectuant les calculs appropriés.

Conseils

c. Utilise les expressions $h(x)=-3x$ et aussi $x=-\dfrac{h(x)}{3}$.

Solution

a. La fonction h est représentée par la droite 𝒟 qui passe par l’origine O du repère et par le point $A(-1 ; 3)$.

b. • Le point B, situé sur la droite 𝒟 et d’abscisse – 2, a pour ordonnée + 6. Donc l’image de – 2 par h est + 6.

• Le point C, situé sur la droite 𝒟 et d’ordonnée – 4,5, a pour abscisse + 1,5. Donc le nombre 1,5 a pour image le nombre – 4,5 par h.

c. Par le calcul, nous retrouvons que :

• l’image du nombre − 2 par h est $h(-2)=-3(-2)=6$

• le nombre qui a pour image − 4,5 par la fonction h est le nombre $x=-\dfrac{-4,5}{3}$, soit $x=1,5$.