I. Rappels de cours
1) Section d’une sphère par un plan
Soit une sphère de centre O et de rayon R et soit un plan 𝒫 .
Notons h la distance entre le point O et le plan 𝒫 . Alors h = OH.
- Si h > R, alors le plan ne coupe pas la sphère.
- Si h = R, alors le plan est tangent à la sphère.
- Si h < R, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle.
2) Coordonnées géographiques
On représente la Terre par une sphère.
- La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.
Tout point P situé sur Terre est repéré par :
– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point P et le méridien de Greenwich
– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point P et l’équateur.
II. Méthodes
1) Étudier la section d’une sphère par un plan
Soit une sphère S de centre O et de rayon R=15 cm. On coupe cette sphère par un plan P tel que la distance du point O à ce plan (représentée par le segment [OH] sur la figure) soit égale à 12 cm.
Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère S et du plan P ?
En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).
Conseils
Applique le théorème de Pythagore.
Solution
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Ce cercle C a pour centre H. Son rayon r=HA peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AHO rectangle en H :
AH2+OH2=OA2,
soit r2=R2−OH2 ou r2=152−122=81.
Donc r=9 cm.
2) Calculer la longueur d’un grand cercle
La Terre est assimilée à une boule de rayon R=6 370 km.
Calculer la longueur de l’équateur.
Solution
Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.
Notons L la longueur de ce cercle. Alors :
L=2×π×R, soit L=2×π×6 370 km
ou encore, arrondie au km, L=40 024 km.