👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet (digischool.fr/collège)

La propriété suivante va nous permettre de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle à l'aide des longueurs des côtés du triangle.

I. Contraposée du théorème de Pythagore

Si dans un triangle $ABC$ , dont le plus grand côté est $[BC]$ , on constate que :
$BC^2 \ne AB^2 + AC^2$ , alors le triangle n'est pas rectangle.

Ceci est une conséquence du théorème de Pythagore, comme l'égalité n'est pas vérifiée, c'est que le triangle ne peut pas être rectangle.

II. Exemple de rédaction de la contraposée

Dans un triangle ABC, on sait que : $AB = 7$ cm, $AC = 11$ cm et $BC = 13$ cm.

Dans ce triangle, on repère le plus grand côté qui est $[BC]$ .

D'une part : $BC^2 = 13^2 = 169$

D'autre part : $AB^2 + AC^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170$

On constate donc que : $BC^2 \ne AB^2 + AC^2$

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

III. Théorème, réciproque du théorème et contraposée du théorème

picture-in-text

IV. Un exemple classique

Le week-end dernier, j'ai mis une étagère au mur et Paul me soutient qu'à la regarder, elle ne semble pas perpendiculaire au mur. Pour vérifier, nous mesurons. Paul a-t-il raison ?

picture-in-text

Solution

Le côté le plus long du triangle $CAB$ est $BC$ . Faire attention à ce que toutes les mesures soient exprimées dans la même unité. Ici $AB=60\text{ cm }=0,6 \text{ m}$ .

Calculons $BC^2$ et $AC^2+AB^2$ d'autre part.

$BC^2=1,34^2=1,7956$

$AC^2+AB^2=1,2^2+0.6^2=1.8$

$BC^2\neq AC^2+AB^2$

Conclusion : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $CAB$ n'est pas un triangle rectangle.

L'étagère n'est donc pas perpendiculaire au mur. Paul a raison.

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I. Contraposée du théorème de Pythagore

Si dans un triangle $ABC$ , dont le plus grand côté est $[BC]$ , on constate que :
$BC^2 \ne AB^2 + AC^2$ , alors le triangle n'est pas rectangle.

Ceci est une conséquence du théorème de Pythagore, comme l'égalité n'est pas vérifiée, c'est que le triangle ne peut pas être rectangle.

II. Exemple de rédaction de la contraposée

Dans un triangle ABC, on sait que : $AB = 7$ cm, $AC = 11$ cm et $BC = 13$ cm.

Dans ce triangle, on repère le plus grand côté qui est $[BC]$ .

D'une part : $BC^2 = 13^2 = 169$

D'autre part : $AB^2 + AC^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170$

On constate donc que : $BC^2 \ne AB^2 + AC^2$

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

III. Théorème, réciproque du théorème et contraposée du théorème

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IV. Un exemple classique

Le week-end dernier, j'ai mis une étagère au mur et Paul me soutient qu'à la regarder, elle ne semble pas perpendiculaire au mur. Pour vérifier, nous mesurons. Paul a-t-il raison ?

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Solution

Le côté le plus long du triangle $CAB$ est $BC$ . Faire attention à ce que toutes les mesures soient exprimées dans la même unité. Ici $AB=60\text{ cm }=0,6 \text{ m}$ .

Calculons $BC^2$ et $AC^2+AB^2$ d'autre part.

$BC^2=1,34^2=1,7956$

$AC^2+AB^2=1,2^2+0.6^2=1.8$

$BC^2\neq AC^2+AB^2$

Conclusion : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $CAB$ n'est pas un triangle rectangle.

L'étagère n'est donc pas perpendiculaire au mur. Paul a raison.

Contraposée du théorème de Pythagore : pour aller plus loin

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I. Contraposée du théorème de Pythagore

II. Exemple de rédaction de la contraposée

III. Théorème, réciproque du théorème et contraposée du théorème

IV. Un exemple classique

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