Connaître les trois cas d’égalité des triangles

Rappels de cours

1 Premier cas d’égalité des triangles

Repère
À savoir !
On dit que deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables.

Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux, alors ces triangles sont égaux.

exempleSi BC = EF, $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEF}}$ et $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{DFE}}$, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que $\text{AB}=\text{DE}$, $\text{AC}=\text{DF}$ et $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}$.

2 Deuxième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

exemple Si $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}$, $\text{AB}=\text{DE}$ et $\text{AC}=\text{DF}$, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEF}}$, $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{DFE}}$ et $\text{BC}=\text{EF}$.

3 Troisième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

exemple Si $\text{AB}=\text{DE},\text{ AC}=\text{DF}$ et $\text{BC}=\text{EF}$, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DEF}}$, $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{DFE}}$ et $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}$.

Méthode

Comparer deux longueurs

Soit un triangle ABC isocèle en A.

On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] de ce triangle.

On note K le point d’intersection des droites (CI) et (BJ).

Construire une figure, puis comparer les distances CI et BJ.

Repère
Conseils

Trouvez des triangles qui pourraient être égaux, puis appliquez le deuxième cas d’égalité des triangles.

 

Repère
Solution

Considérons les triangles BIC et CJB. Nous savons que [BC] est un côté commun aux deux triangles.

Nous savons aussi que $\widehat{\text{IBC}}=\widehat{\text{JCB}}$ et que $\text{AB}=\text{AC}$ puisque le triangle ABC est isocèle en A. Alors $\text{BI}=\frac{\text{AB}}{2}$ et $\text{CJ}=\frac{\text{AC}}{2}$ donc $\text{BI}=\text{CJ}$.

D’après le deuxième cas d’égalité, les triangles BIC et CJB sont égaux. En conséquence CI = BJ.

Conclusion : les distances CI et BJ sont égales.