Appliquer la réciproque du théorème de Thalès

Rappels de cours

Réciproque du théorème de Thalès

Soient :

• deux droites 𝒟 et 𝒟 ′ sécantes en $\text{A}$ 

• $\text{B}$ et $\text{M}$ deux points de 𝒟 distincts de $\text{A}$ 

• $\text{C}$ et $\text{N}$ deux points de 𝒟 ′ distincts de A.

Si les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{M}$ d’une part, et les points $\text{A}$, $\text{C}$ et $\text{N}$ d’autre part sont alignés dans le même ordre et si $\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}$, alors les droites $\left(\text{BC}\right)$ et $\left(\text{MN}\right)$ sont parallèles.

Méthodes

Démontrer que deux droites sont parallèles

Les longueurs sont mesurées en centimètres.

Construire un triangle $\text{ABC}$ tel que $\text{AB}=3$, $\text{BC}=7$ et $\text{AC}=9$.

Placer le point $\text{E}$ de la demi-droite $\left[\text{AB}\right)$ tel que $\text{AE}=5$, puis le point $\text{F}$ de la demi-droite $\left[\text{AC}\right)$ tel que $\text{AF}=15$.

Les droites $\left(\text{BC}\right)$ et $\left(\text{EF}\right)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Repère
conseils

N’oubliez pas de justifier l’application de la réciproque du théorème de Thalès.

 

Repère
Solution

Nous avons $\frac{\text{AB}}{\text{AE}}=\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$

et $\frac{\text{AC}}{\text{AF}}=\frac{9}{15}=\mathrm{0,6}$. Nous en déduisons que $\frac{\text{AB}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AF}}$.

Les points $\text{A}$, $\text{C}$, $\text{F}$ sont alignés dans le même ordre que les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{E}$ et de plus $\frac{\text{AB}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AF}}$. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $\left(\text{BC}\right)$ et $\left(\text{EF}\right)$ sont parallèles.

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

L’unité de longueur est le centimètre.

On considère deux droites 𝒟 1 et 𝒟 2 sécantes en $\text{O}$. Les points A et H sont situés sur 𝒟 1 tandis que les points B et G sont situés sur 𝒟 2.

On donne : $\text{OA}=6$  $\text{OB}=8$  $\text{OG}=\mathrm{6,6}$ et $\text{OH}=5$.

Les droites $\left(\text{AB}\right)$ et $\left(\text{GH}\right)$ sont-elles parallèles ?

Repère
conseils

Vérifiez si l’on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès, ou pas.

 

Repère
Solution

Calculons : $\frac{\text{OA}}{\text{OH}}=\frac{\text{6}}{\text{5}}$ et $\frac{\text{OB}}{\text{OG}}=\frac{\text{8}}{\text{6,6}}$.

Nous remarquons que $\frac{6}{5}\ne \frac{8}{\mathrm{6,6}}$, donc nous en déduisons que $\frac{\text{OA}}{\text{OH}}\ne \frac{\text{OB}}{\text{OG}}$.

Les points G, O, B sont alignés dans le même ordre que les points H, O, A.

Si les droites $\left(\text{AB}\right)$ et $\left(\text{GH}\right)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès permettrait d’écrire : $\frac{\text{OA}}{\text{OH}}=\frac{\text{OB}}{\text{OG}}$. Mais puisque $\frac{\text{OA}}{\text{OH}}\ne \frac{\text{OB}}{\text{OG}}$, les droites $\left(\text{AB}\right)$ et $\left(\text{GH}\right)$ ne sont pas parallèles.