Appliquer des transformations géométriques

Rappels de cours

1 Quelques transformations

2 Propriétés de conservation

Ces transformations géométriques conservent les longueurs, les angles, les aires, les alignements, le parallélisme et la perpendicularité.

Méthode

Construire une figure à l’aide des transformations

a. Tracer un carré ABCD de centre O et de 2 cm de côté, puis :

• placer le point E image du point O dans la symétrie de centre B 

• placer le point F image du point C dans la translation qui transforme le point A en le point O 

• placer le point G image du point E dans la rotation de centre O qui transforme B en A 

• placer le point H tel que les droites (AD) et (GH) soient parallèles, GH = 2AD et enfin que l’angle $\widehat{\text{HGA}}$ soit aigu.

b. Démontrer que les droites (EF) et (AD) sont parallèles.

Repère
Conseils

b. Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut essayer d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès .

 

Repère
Solution

a. Puisque E est l’image de O dans la symétrie de centre B, alors B est le milieu du segment $\left[\text{OE}\right]$.

Puisque F est l’image C dans la translation qui transforme A en O, alors les points O, C, F sont alignés et $\text{AO}=\text{CF}.$

Puisque G est l’image de E dans la rotation de centre O qui transforme B en A, alors $\text{OG}=\text{OE}$ et $\widehat{\text{EOG}}=\widehat{\text{BOA}}.$

Il existe a priori deux points H possibles mais un seul donne un angle $\widehat{\text{HGA}}$ aigu.

b. Voici une démonstration possible. Les points O, C, F sont alignés dans le même ordre que les points O, B, E et, de plus, $\frac{\text{OC}}{\text{OF}}=\frac{\text{OB}}{\text{OE}}=\frac{1}{2}$. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles. Or (BC) et (AD) sont parallèles puisque ABCD est un carré. Donc (EF) et (AD) sont parallèles.