Connaître les fonctions affines

Rappels de cours

1 Définition d’une fonction affine

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés.

 La fonction $f$ qui, au nombre $x$, fait correspondre le nombre $ax+b$ est appelée fonction affine.

 On note $f:x\mapsto ax+b$ ou encore $f\left(x\right)=ax+b$.

2 Représentation graphique d’une fonction affine

 La représentation graphique d’une fonction affine $f:x\mapsto ax+b$ est une droite. Il suffit donc de connaître deux points appartenant à la droite pour la tracer.

 $a$ est le coefficient directeur de la droite et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

Méthodes

Rechercher des images et des antécédents

Tous les clients de la station service Au Bon Relais effectuent le plein du réservoir de leur voiture avec un carburant à 1,50 euro le litre et font une vérification rapide des niveaux pour une somme forfaitaire de 3 euros.

Soit $x$ le nombre de litres de carburant achetés.

a. Exprimer le prix $f\left(x\right)$ payé par un client.

b. Compléter le tableau suivant :

Repère
conseils

Pour rechercher les antécédents, on exprime $x$ en fonction de $f\left(x\right)$ en utilisant l’expression algébrique de $f.$

 

Repère
Solution

a. Nous avons $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}x+3$.

b. Utilisons les expressions $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}x+3$ et $x=\frac{f\left(x\right)-3}{\mathrm{1,5}}.$

Nombre de litres achetés	10	58	24	28	66	36	48	74
Prix à payer (en euros)	18	90	39	45	102	57	75	114

Utiliser la représentation graphique d’une fonction affine

a. Représenter graphiquement, dans un repère orthonormal, la fonction affine $h:x\mapsto 2x-1$.

b. À l’aide du graphe obtenu, répondre aux questions suivantes :

• quelle est l’image par cette fonction du nombre $-1$ ?

• quel nombre a pour image, par cette même fonction, le nombre 5 ?

c. Retrouver ces résultats par le calcul.

Repère
conseils

a. Calculez les coordonnées de deux points appartenant à la droite et placez-les dans le repère pour tracer la représentation graphique de la fonction h.

c. Utilisez l’expression algébrique $h\left(x\right)=2x-1$.

 

Repère
Solution

a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Celle de $h$ passe par les points $\text{A}\left(0-1\right)$ et $\text{B}\left(23\right)$.

b. • Le point E, situé sur la droite et d’abscisse $-1$, a pour ordonnée $-\text{3}$. L’image du nombre $-1$ par $h$ est donc le nombre $-\text{3}$.

• Le point F situé sur la droite et d’ordonnée 5 a pour abscisse 3. Le nombre qui a pour image 5 par la fonction $h$ est 3.

c. • $h(–1)=2\times (–1)–1=–3.$ L’image de – 1 par h est – 3.

• $2x-1=5,$ soit x = 3. Le nombre 3 a pour image 5 par h.