I. Rappels de cours
Lecture des images et des antécédents de nombres sur un graphique
Soit une fonction f et C sa représentation graphique dans un repère (O I J).
Lire l’image d’un nombre donné, c’est lire l’ordonnée du point de C qui a pour abscisse le nombre donné.
Lire l’antécédent d’un nombre donné, c’est lire l’abscisse du point de C qui a pour ordonnée le nombre donné.
Attention
Les lectures graphiques sont plus ou moins précises. Seule la connaissance de l’expression algébrique de la fonction f pourrait permettre d’obtenir des valeurs exactes.
II. Méthodes
1) Lire des images et des antécédents
Le graphique ci-contre représente une fonction f sur l’intervalle [− 1 5].
Répondre par lecture graphique aux questions suivantes :
a. Quelle est l’image de + 1 ?
b. De quels nombres + 6 est-il l’image ?
c. Quel est l’antécédent de – 3 ?
d. Quels nombres ont des images négatives ?
Solution
a. Le point de la courbe C d’abscisse 1 a une ordonnée égale à – 2.
Conclusion : l’image de + 1 par la fonction f est – 2.
b. Il existe deux points sur la courbe C dont l’ordonnée vaut + 6. Ces points ont pour abscisses – 1 et + 5.
Conclusion : + 6 est l’image de – 1 et + 5 par la fonction f.
c. Le point de C d’ordonnée – 3 a pour abscisse + 2.
Conclusion : + 2 est l’antécédent de – 3 par la fonction f.
d. On peut lire que les points de la courbe C dont les abscisses sont comprises entre 0,3 et 3,7 ont des ordonnées négatives. Toutefois, les valeurs 0,3 et 3,7 ne sont que des valeurs approchées. On ne peut pas donner de réponse précise !
2) Résoudre un problème graphiquement
Un cinéma propose deux tarifs aux spectateurs :
- le tarif T1 à 8 euros la place
- le tarif T2 qui correspond à un abonnement annuel de 30 euros et 5 euros la place.
a. Julie se rend au cinéma x fois par an. Calculer le coût annuel (en fonction de x) de ce loisir selon qu’elle choisit le tarif T1 ou le tarif T2.
Ces coûts seront respectivement notés f(x) et g(x).
b. Donner un encadrement pour x sachant que Julie ne va pas plus de 15 fois par an au cinéma.
c. Tracer les représentations graphiques des fonctions f et g.
d. À l’aide du graphique obtenu, indiquer, selon les valeurs de x, la formule la plus avantageuse pour Julie.
Solution
a. f(x)=8x et g(x)=30+5x.
b. On a 0≤x≤15.
c. f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est la droite D 1 passant par l’origine O et par le point A (15 120).
g est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite D 2 passant par les points B (0 30) et C (15 105).
d. Graphiquement, on remarque que D 1 et D 2 se coupent en P (10 80). Si 0≤x<10, alors D 1 est au-dessous de D 2, ce qui signifie que le tarif T1 est le moins cher. Si 10<x≤15, alors D 2 est au-dessous de D 1, ce qui signifie que le tarif T2 est le moins cher.
Si x=10, alors les deux tarifs reviennent au même prix pour Julie.