Calculer avec des puissances d'exposant négatif

Signaler

I. Définition

Soit nn un nombre entier supérieur ou égal à 1, et aa un nombre relatif.

ana^{-n} est l'inverse de ana^n

an=1an=1a×a×...×anfacteursa^{-n} = \dfrac{1}{a^n} = \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n\text{facteurs}}}

II. Exemples

34=134=13×3×3×3=1813^{-4} = \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \dfrac{1}{81}

(2)2=1(2)2=1(2)×(2)=14(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{(-2) \times (-2)} = \dfrac{1}{4}

III. Opérations sur les puissances

Soit aa et bb des nombres relatifs différents de 00 et mm et nn des entiers relatifs.

Opération

Propriété

Exemples

Produit

an×am=an+ma^n \times a^m = a^{n+m}

53×54=5(3+4)=575^3 \times 5^4 = 5^{(3+4)} = 5^7
32×34=3(24)=323^2 \times 3^{-4} = 3^{(2-4)} = 3^{-2}

Quotient

anam=a(nm)\dfrac{a^n}{a^m} = a^{(n-m)}

6467=6(47)=63\dfrac{6^4}{6^7} = 6^{(4-7)} = 6^{-3}
2327=2(3(7))=24\dfrac{2^{-3}}{2^{-7}} = 2^{(-3-(-7))} = 2^4

Puissance de puissance

(an)m=a(n×m)(a^n)^m = a^{(n \times m)}

(23)4=2(2×4)=212(2^3)^4 = 2^{(2 \times 4)} = 2^{12}
(32)5=3(2×5)=310(3^{-2})^5 = 3^{(-2 \times 5)} = 3^{-10}

Puissance d'un produit

(ab)n=an×bn(ab)^n = a^n \times b^n

(2×3)4=24×34(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4
(3×4)3=33×43(3 \times 4)^{-3} = 3^{-3} \times 4^{-3}

Puissance d'un quotient

(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

(23)4=2434\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4}
(34)3=3343\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-3} = \dfrac{3^{-3}}{4^{-3}}