Calculer avec une notation scientifique

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I. Les puissances de 10

Soit nn un nombre entier supérieur ou égal à 1.
On a : 10n=10×10×...×10=100...010^n = 10 \times 10 \times ... \times 10 = 100...0
(n facteurs 10 → 1 suivi de nn zéros)

10n=110n=0,00..0110^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,00..01
(0 virgule, (n1)(n-1) zéros suivis de 1)

Exemples :

107=1000000010^7 = 10 000 000
105=0,0000110^{-5} = 0,000 01

Les propriétés des opérations sur les puissances s'appliquent.

Produit

Quotient

Puissance

10n×10m=10(n+m)10^n \times 10^m = 10^{(n+m)}

10n10m=10(nm)\dfrac{10^n}{10^m} = 10^{(n-m)}

(10n)m=10(n×m)(10^n)^m = 10^{(n \times m)}

II. Écriture scientifique d'un nombre relatif

L'écriture scientifique d'un nombre relatif aa est une mise sous la forme :

a=b×10na = b \times 10^n avec bb nombre relatif et 1b<101\le b\lt 10

Le nombre nn est un entier relatif.

Exemples :

L'écriture scientifique de 2 451 500 est 2,4515×1062,4515 \times 10^6

L'écriture scientifique de -0,000 15 est 1,5×104-1,5 \times 10^{-4}

Exemples :

Nombre

Notation scientifique

0,000 981

9,81×1049,81 \times 10^{-4}

0,001 732

1,732×1031,732 \times 10^{-3}

602×1021602 \times 10^{21}

6,02×10236,02 \times 10^{23}

-345

3,45×102-3,45 \times 10^{2}


2. Ordre de grandeur : exemples

L'écriture scientifique permet de voir rapidement l'ordre de grandeur d'un nombre sans avoir à compter les chiffres avant ou après la virgule. De plus, on peut vite se faire une idée du résultat d'un calcul grâce aux propriétés des opérations sur les puissances.

Remarque :

Tout nombre strictement positif est compris entre deux puissances de 1010 consécutives.

Soit a=3,14×105a = 3,14 \times 10^5, alors 105<a<10610^5 \lt a \lt 10^6

Soit b=7,07×102b = 7,07 \times 10^{-2}, alors 102<b<10110^{-2} \lt b \lt 10^{-1}