Calculer avec des puissances

Signaler

I. Puissances d'un nombre relatif

1. Exposant positif

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1, et a un nombre relatif. On a :

an=a×a×a××an facteurs aa^n=\underbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}_{n\text{ facteurs } a}

ana^n se dit « a à la puissance n » ou « a puissance n » ou « a exposant n ».
n se nomme l'exposant.

Exemples :
53=5×5×5=1255^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125
(2)5=(2)×(2)×(2)×(2)×(2)=(2×2×2×2×2)=32(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) = -32

Remarques :
D'après la règle des signes, la puissance d'un nombre négatif est un nombre positif si l'exposant est pair, c'est un nombre négatif si l'exposant est impair.

Si l'exposant est 1 : a1=aa^1 = a
a puissance 2 se dit a au carré.
a puissance 3 se dit a au cube.

2. Exposant nul

Soit a un nombre relatif différent de 0, alors a0=1a^0 = 1

On admet qu'un nombre non nul à la puissance 0 est toujours 1.

a3=a×a×aa^3 = a \times a \times a
a2=a×aa^2 = a \times a
a1=aa^1 = a

Pour passer d'une ligne à l'autre et descendre les exposants, cela revient à diviser par a.

D'où : a0=aa=1a^0 = \dfrac{a}{a} = 1

III. Opérations sur les puissances

Soit aa et bb des nombres relatifs différents de 0 et mm et nn des entiers.

Produit
an×am=an+ma^n \times a^m = a^{n+m}
Exemple : 53×54=5(3+4)=575^3 \times 5^4 = 5^{(3+4)} = 5^7

Quotient
anam=a(nm)\dfrac{a^n}{a^m} = a^{(n-m)}

Exemple : 6764=6(74)=63\dfrac{6^7}{6^4} = 6^{(7-4)} = 6^{3}

Puissance de puissance
(an)m=a(n×m)(a^n)^m = a^{(n \times m)}

Exemple : (23)4=2(2×4)=212(2^3)^4 = 2^{(2 \times 4)} = 2^{12}

Puissance d'un produit
(ab)n=an×bn(ab)^n = a^n \times b^n

Exemple : (2×3)4=24×34(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4

Puissance d'un quotient
(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}

Exemple : (23)4=2434\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{2^4}{3^4}