Calculer avec des fractions

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I. Rappels de cours

1) Règles de calcul sur les fractions

 Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

 Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction numérateur par l’inverse de la fraction dénominateur.

2) Règles de priorité

Dans une expression qui comporte plusieurs opérations, on effectue les calculs dans l’ordre suivant :

1. Commencer toujours par effectuer les calculs entre parenthèses (s’il en existe !).

2. Effectuer toujours les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

3. S’il n’y a que des additions et des soustractions, les effectuer dans l’ordre où elles sont indiquées.

S’il n’y a que des multiplications et des divisions, les effectuer dans l’ordre où elles sont indiquées.

Exemple : B=(− 34+14)×12−58, soit B=− 24×12−58 ou B=− 28−58=− 78.

3) Inverse, opposé

 Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.

Attention
Ne pas confondre l’opposé et l’inverse d’un nombre.

Exemples : − 5 est l’opposé de 5 ; − 13 est l’opposé de 13.

 Deux nombres sont inverses si leur produit est 1.

Exemples : 15 est l’inverse de 5 ; − 13 est l’inverse de − 3.

II. Méthodes

1) Calculer avec des fractions

Soient les fractions A=79  B=− 27  C=53  D=− 914.

Calculer E=A+B  F=D−C  G=A×B et H=CD.

Solution

  • E=79−27, soit E=4963−1863 ou encore E=3163.
  • F=− 914−53, soit F=− 2742−7042 ou encore F=− 9742.
  • G=79×(− 27), soit G=7×(− 2)9×7 ou encore G=− 29.
  • H=53− 914, soit H=53×(− 149) d’où H=− 7027.

2) Utiliser les règles de priorité

Soient les expressions A=(2−32)(23−3) et B=310+37÷514.

Calculer A et B en donnant les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

Solution

  • On commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Pour cela réduisons les fractions au même dénominateur :

A=(42−32)(23−93)=(4−32)×(2−93), soit A=(12)×(− 73).

Multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

A=1×(− 7)2×3 ou encore A=− 76.

  • Diviser par 514, c’est multiplier par 145. D’où  B=310+37×145.

On effectue la multiplication en premier :

B=310+3×147×5=310+65=310+1210, soit B=32.