Rechercher des multiples et des diviseurs

Rappels de cours

1 Multiples et diviseurs

 L’entier naturel non nul a est un multiple de l’entier naturel b s’il existe un entier m tel que $a=m\times b$.

exemple91 est un multiple de 13 car $91=7\times 13$ (91 est aussi un multiple de 7).

 L’entier naturel non nul d est un diviseur de l’entier naturel a si la division de a par d se fait exactement, c’est-à-dire sans reste.

Repère
À savoir !
Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres !

exemples

• 5 est un diviseur de 15, car la division de 15 par 5 ne donne pas de reste.

• 11 n’est pas un diviseur de 28, car la division de 28 par 11 donne un reste qui vaut 6 .

2 Critères de divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5 et par 10

Un entier naturel est divisible :

• par 2 si son chiffre des unités est 0 ou un nombre pair.

exemple146 est divisible par 2 car ce nombre se termine par 6, qui est un nombre pair.

• par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

exemple258 est divisible par 3, car 2 + 5 + 8 = 15, qui est un multiple de 3.

• par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

exemple5 468 est divisible par 4 car 68 est divisible par 4.

• par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

exemple285 est divisible par 5 car ce nombre se termine par le chiffre 5.

Repère
À savoir !
Ces critères sont à connaître par cœur ! Ils permettent de gagner beaucoup de temps !

• par 10 s’il se termine par 0.

exemple750 est divisible par 10 car ce nombre se termine par le chiffre 0.

Méthodes

Rechercher des multiples communs de deux entiers naturels

Soient les entiers 15 et 18. Trouver leur(s) multiple(s) commun(s) inférieurs à 140.

Repère
Solution

Les multiples de 15 inférieurs à 140 sont :

15  30  45  60  75  90  105  120 et 135.

Les multiples de 18 inférieurs à 140 sont :

18  36  54  72  90  108 et 126.

Conclusion : il existe un seul multiple commun à 15 et 18 qui soit inférieur à 140. Il s’agit de 90.

Rechercher les diviseurs d’un entier naturel

Quels sont les 12 diviseurs du nombre 60 ?

Repère
Solution

Nous pouvons remarquer que $60=2\times 2\times 3\times 5$.

Les diviseurs de 60 sont :

1  2  3  4  5  6  10  12  15  20  30 et 60.

Résoudre un problème grâce à la divisibilité

Deux coureurs cyclistes A et B parcourent, à vitesse constante et dans le même sens, une piste circulaire. Ils partent en même temps du même point. A effectue un tour de piste en 20 s et B a besoin de 25 s pour faire lui aussi un tour de piste.

a. Au bout de combien de temps A et B repasseront-ils pour la première fois en même temps au point de départ ?

b. Combien chaque coureur aura-t-il effectué de tours de piste quand ils passeront en même temps sur la ligne de départ pour la première fois ?

Repère
Solution

a. Les multiples de 20 sont : 20  40  60  80  100  120, etc.

Les multiples de 25 sont : 25  50  75  100  125, etc.

Le plus petit multiple commun de 20 et de 25 est 100. Après 100 s, A et B repassent pour la première fois ensemble au point de départ.

b. On remarque que $100=5\times 20=4\times 25$.

Au bout de 100 s, A a effectué 5 tours de piste tandis que B en a effectué 4.