Notion de primitive et premières propriétés

I. Définition d’une primitive

Commençons par un exemple :

On considère la fonction $f(x)=2x$.

Une primitive de $f$ est la fonction $F(x)=x^2$, car : $F'(x)=2x$

On dit que $F$ est une primitive de $f$.

Définition :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

$F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$

Autrement dit, une primitive est une fonction dont la dérivée redonne la fonction de départ.

II. Vérifier qu’une fonction est une primitive

Pour vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$, il suffit de :

$\checkmark$ calculer $F'(x)$
$\checkmark$ vérifier que $F'(x)=f(x)$

Exemple

Soit $F(x)=x^2+3$.

On a :

$F'(x)=2x$

Donc $F$ est aussi une primitive de $f(x)=2x$.

III. Deux primitives d’une même fonction

Propriété fondamentale

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d’une même fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors :

$F(x)=G(x)+k$ avec $k$ une constante

Toutes les primitives d’une fonction diffèrent donc d’une constante.

Exemple

Les fonctions suivantes sont toutes des primitives de $f(x)=2x$ :

$F(x)=x^2$
$G(x)=x^2+5$
$H(x)=x^2-3$

Effectivement, si on les dérive, on trouve bien à chaque fois la fonction $f$.

IV. Interprétation graphique

$\checkmark$ Les primitives d’une même fonction ont des courbes de même forme.

$\checkmark$ Elles se déduisent les unes des autres par une translation verticale.

On dit parfois que leurs courbes sont « parallèles ».

Exemple

Les courbes de :

$f(x)=2x$ (fonction dérivée)
$F(x)=x^2$
$G(x)=x^2+5$
$H(x)=x^2-3$

ont la même forme pour les primitives : ce sont des paraboles simplement décalées vers le haut ou vers le bas.

V. Compréhension globale

Trouver une primitive revient à « remonter » une dérivée.

Contrairement à la dérivation, il n’y a pas une seule réponse : il existe une infinité de primitives.