Appliquer le théorème de Pythagore dans l'espace

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On donne un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$ et on cherche à déterminer la longueur de la diagonale du cube $HB$.

Pour cela, trouvons un triangle rectangle qui nous ramène à un simple exercice de géométrie plane. Traçons le segment $[BD]$.

La base du cube est un carré, le triangle $BAD$ est un triangle rectangle en $A$ dans lequel on va pouvoir calculer la longueur de l'hypoténuse $[BD]$.

L'arête $[HD]$ est perpendiculaire à la base du cube. Le triangle $HDB$ est donc également un triangle rectangle, et ceci en $D$.

$\checkmark$ 1^re étape : calcul de $BD$

Dans le triangle $DAB$ rectangle en $A$, j'applique le théorème de Pythagore.

Le côté "en face" de l'angle $A$ est le côté $[BD]$.

$BD^2=AB^2+AD^2$ soit $BD^2=1^2+1^2=1+1=2$

La longueur $BD$ étant une valeur positive, $BD=\sqrt 2$.

$\checkmark$ 2e étape : calcul de $BH$

Dans le triangle $BDH$ rectangle en $D$, j'applique le théorème de Pythagore.

Le côté "en face" de l'angle $D$ est le côté $[BH]$.

$BH^2=DB^2+DH^2=(\sqrt 2)^2+1^2=2+1=3$

Remarque : il était donc inutile de calculer $BD$ puisque seule la valeur $BD^2$ intervient dans le calcul.

$BH$ étant une valeur positive, $BH=\sqrt 3$.

La diagonale $[BH]$ du cube a pour longueur $\sqrt 3$ (unités de longueur).