Pythagore et la racine carrée

I. Rappel du théorème de Pythagore

$\circ$ Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

$\circ$ Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\circ$ L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.

II. Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer un côté inconnu

$\circ$ Si l'on connaît la longueur de l'hypoténuse et l'un des côtés de l'angle droit, on peut calculer l'autre côté.

$\circ$ Soit un triangle rectangle en $A$. Je sais que : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

👉 prends l'habitude de faire un croquis immédiatement à main levée, pour voir où est ton angle droit et ton hypoténuse

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Si je retranche $AC^ 2$ aux deux membres de cette égalité j'obtiens :

$BC^2-AC^ 2=AB^2 + AC^2-AC^2$.

Je simplifie le membre de droite :

$BC^2-AC^2=AB^2$ que je peux lire également (puisqu'une égalité peut se lire aussi de droite à gauche)

$\boxed{AB^2 = BC^2 - AC^2}$

De la même manière, on peut calculer le carré de l'autre côté de l'angle droit.

$AC^2 = BC^2 - AB^2$

$\circ$ Pour trouver $AB$ ou $AC$, on devra donc calculer une racine carrée :

$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$

ou

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2}$

III. Exemples d'application

Exemple 1 :

Dans un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$\circ$ $BC = 13$cm

$\circ$ $AC = 5$cm

Calculer la longueur $AB$.

Solution :

👉 Prends l'habitude de reporter les longueurs connues sur ton dessin. un croquis à main levée ne respecte pas les dimensions.

Utilisation du théorème de Pythagore :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Donc :

$13^2 = AB^2 + 5^2$

$169 = AB^2 + 25$ , je retranche $25$ aux deux membres de l'égalité.

$AB^2 = 169 - 25$

$AB^2 = 144$

je sais que $144$ est le carré de $12$, donc $AB=12$ cm.

Le nombre $12$ peut s'écrire $\sqrt {144}$ et se lit "racine carrée de $144$".

$AB = \sqrt{144}$

$AB = 12$cm

Exemple 2 :

Dans un triangle rectangle $DEF$ rectangle en $E$ :

$\circ$ $DF = 10$cm

$\circ$ $DE = 6$cm

Calculer la longueur $EF$.

Solution :

Utilisation du théorème de Pythagore :

$DF^2 = DE^2 + EF^2$

Donc :

$10^2 = 6^2 + EF^2$

$100 = 36 + EF^2$

$EF^2 = 100 - 36$

$EF^2 = 64$

Donc :

$EF = \sqrt{64}$

$EF = 8$cm

IV. Remarques importantes

$\circ$ Il est essentiel de connaître les carrés parfaits de $1$ à $144$ pour pouvoir calculer rapidement les racines carrées sans calculatrice.

$\sqrt 1=1\;;\;\sqrt 4=2\;;\;\sqrt 9=3\;;\;\sqrt{16}=4\;;\;\sqrt{25}=5\;;\;\sqrt{36}=6$

$\sqrt{49}=7\;;\;\sqrt{64}=8\;;\;\sqrt{81}=9\;;\;\sqrt{100}=10\;;\;\sqrt{121}=11\;;\;\sqrt{144}=12$

$\circ$ Le résultat d'une racine carrée est toujours un nombre positif.

$\circ$ En cas de doute ou pour des nombres plus grands, l'utilisation de la calculatrice est recommandée pour trouver la racine carrée.

Exemple 3

Dans un triangle rectangle $JKL$ rectangle en $J$ :

$\circ$ $KL = 10$cm

$\circ$ $JK = 7$cm

Calculer la longueur $JL$.

Solution :

Utilisation du théorème de Pythagore :

$KL^2 = JK^2 + JL^2$

Donc :

$10^2 = 7^2 + JL^2$

$100 = 49 + JL^2$

$JL^2 = 100 - 49$

$JL^2 = 51$

Donc on peut écrire :

$JL = \sqrt{51}$ et à l'aide de la touche "racine carrée" de la calculatrice, on peut trouver si cela est demandé une valeur approchée.

$JL \approx 7,14$cm (en arrondissant au centième)