I. Rappels de cours
Théorème de Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC2=AB2+AC2
Autre formulation : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.
Exemple : soit un triangle ABC rectangle en A et tel que AB = 15 cm et BC = 18,75 cm. On veut calculer la mesure exacte de la distance AC.
- [AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit, [BC] est l’hypoténuse.
- Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore et écrire : BC2=AB2+AC2.
Alors AC2=BC2−AB2 ou encore AC2=18,752−152.
Donc AC2=126,5625, soit AC=11,25 cm.
II. Méthodes
1) Appliquer le théorème de Pythagore dans l’espace
L’unité de longueur est le centimètre.
Soit un parallélépipède rectangle ABCDEFGH. La base ABCD a pour longueur AB=12 et pour largeur AD=8.
La hauteur mesure AE=9.
a. Calculer la mesure exacte de la distance BD.
b. Calculer la mesure exacte du segment [BH] en admettant que le triangle HDB soit rectangle en D.
c. Un crayon de 16,5 cm de longueur pourrait-il rentrer dans une boîte de mêmes dimensions que ce parallélépipède ? Justifier.
Conseils
Repère bien les côtés de l’angle droit et l’hypoténuse des triangles rectangles ABD et BDH.
Solution
a. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABD rectangle en A : BD2=AB2+AD2=122+82
ou encore BD2=208, donc BD=413 ≈14,4.
b. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle BDH rectangle en D : BH2=BD2+DH2=208+92
ou encore BH2=289, donc BH=17.
c. Puisque 14,4 < 16,5 < 17, pour rentrer dans la boîte, le crayon doit être disposé selon une diagonale ([BH] par exemple).
2) Résoudre un problème à l’aide du théorème de Pythagore
Deux chemins rectilignes D1 et D2 se coupent perpendiculairement en O. Deux très bons marcheurs P1 et P2 partent simultanément du point O et prennent chacun un des deux chemins à vitesse constante : v1=2 m/s pour P1 et v2=2,5 m/s pour P2.
Calculer la distance séparant les deux marcheurs 600 secondes après leur départ. En donner une valeur approchée au mètre près.
Conseils
Calcule les distances parcourues par chacun des marcheurs en 600 secondes, puis applique le théorème de Pythagore au triangle obtenu.
Solution
Au bout de 600 secondes, P1 sera en A avec OA=2×600=1 200 m et P2 sera en B avec OB=2,5×600=1 500 m.
Le triangle OAB est rectangle en O.
Le théorème de Pythagore permet d’écrire : AB2=OA2+OB2.
AB2=1 2002+1 5002=3 690 000,
soit AB=3 690 000.
Nous obtenons AB=1 921 m, valeur approchée au mètre près.