Appliquer le théorème de Pythagore

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I. Rappels de cours

Théorème de Pythagore

 Si un triangle ABCABC est rectangle en AA, alors :

BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2

Autre formulation : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

Exemple :

Soit un triangle ABCABC rectangle en AA et tel que AB=15 cmAB=15~cm et BC=18,75 cmBC=18,75~cm. On veut calculer la mesure exacte de la distance ACAC :

  • [AB][AB] et [AC][AC] sont les côtés de l’angle droit, [BC][BC] est l’hypoténuse.
  • Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore et écrire :

    BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2.

    Alors AC2=BC2AB2AC^2=BC^2-AB^2

    ou encore AC2=18,752152AC^2=18,75^2-15^2.

    Donc AC2=126,5625AC^2=126,5625,

    soit AC=11,25 cmAC=11,25~cm.

 

II. Méthodes

1) Appliquer le théorème de Pythagore dans l’espace

L’unité de longueur est le centimètre.

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Soit un parallélépipède rectangle ABCDEFGHABCDEFGH. La base ABCDABCD a pour longueur AB=12AB=12 et pour largeur AD=8AD=8.

La hauteur mesure AE=9AE=9.

a. Calculer la mesure exacte de la distance BDBD.

b. Calculer la mesure exacte du segment [BH][BH] en admettant que le triangle HDBHDB soit rectangle en DD.

c. Un crayon de 16,5 cm16,5~cm de longueur pourrait-il rentrer dans une boîte de mêmes dimensions que ce parallélépipède ? Justifier.

Conseils

Repère bien les côtés de l’angle droit et l’hypoténuse des triangles rectangles ABD et BDH.


Solution

a. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABD rectangle en A :

BD2=AB2+AD2=122+82BD^2=AB^2+AD^2=12^2+8^2

ou encore BD2=208BD^2=208,

donc BD=41314,4BD=4 \sqrt{13} \approx 14,4.

b. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle BDHBDH rectangle en DD :

BH2=BD2+DH2=208+92BH^2=BD^2+DH^2=208+9^2 (BD2BD^2 a été calculé en question a.)

ou encore BH2=289BH^2=289,

donc BH=17BH=17.

c. Puisque 14,4 < 16,5 < 17, pour rentrer dans la boîte, le crayon doit être disposé selon une diagonale ([BH][BH] par exemple).

 

2) Résoudre un problème à l’aide du théorème de Pythagore

Deux chemins rectilignes D1D_1 et D2D_2 se coupent perpendiculairement en OO. Deux très bons marcheurs P1P_1 et P2P_2 partent simultanément du point OO et prennent chacun un des deux chemins à vitesse constante : v1=2 m/sv_1=2~\text{m/s} pour P1P_1 et v2=2,5 m/sv_2=2,5~\text{m/s} pour P2P_2.

Calculer la distance séparant les deux marcheurs 600600 secondes après leur départ. En donner une valeur approchée au mètre près.

Conseils

Calcule les distances parcourues par chacun des marcheurs en 600600 secondes, puis applique le théorème de Pythagore au triangle obtenu. 

 

Solution

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Au bout de 600600 secondes, P1P_1 sera en AA avec OA=2×600=1 200 mOA=2 \times 600=1~200~m et P2P_2 sera en BB avec OB=2,5×600=1 500 mOB=2,5 \times 600=1~500~m.

Le triangle OABOAB est rectangle en OO.

Le théorème de Pythagore permet d’écrire :

AB2=OA2+OB2AB^2=OA^2+OB^2.

AB2=1 2002+1 5002=3 690 000AB^2=1~200^2+1~500^2=3~690~000,

soit AB=3 690 000AB=\sqrt{3~690~000}.

Nous obtenons AB=1 921 mAB=1~921~m, valeur approchée au mètre près.