Appliquer le théorème de Pythagore

Rappels de cours

Théorème de Pythagore

 Si un triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$, alors :

${\text{BC}}^2={\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2$

 Autre formulation : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

exempleSoit un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$ et tel que AB = 15 cm et BC = 18,75 cm. On veut calculer la mesure exacte de la distance AC.

• $\left[\text{AB}\right]$ et $\left[\text{AC}\right]$ sont les côtés de l’angle droit, $\left[\text{BC}\right]$ est l’hypoténuse.

• Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore et écrire : ${\text{BC}}^2={\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2$.

Alors ${\text{AC}}^2={\text{BC}}^2-{\text{AB}}^2$ ou encore ${\text{AC}}^2={\mathrm{18,75}}^2-{15}^2$.

Donc ${\text{AC}}^2=\mathrm{126,5625}$, soit $\text{AC}=\mathrm{11,25}\text{ cm.}$

Méthodes

Appliquer le théorème de Pythagore dans l’espace

L’unité de longueur est le centimètre.

Soit un parallélépipède rectangle $\text{ABCDEFGH}$. La base $\text{ABCD}$ a pour longueur $\text{AB}=12$ et pour largeur $\text{AD}=8$.

La hauteur mesure $\text{AE}=9$.

a. Calculer la mesure exacte de la distance $\text{BD}$.

b. Calculer la mesure exacte du segment $\left[\text{BH}\right]$ en admettant que le triangle $\text{HDB}$ soit rectangle en $\text{D}$.

c. Un crayon de $\text{16},\text{5 cm}$ de longueur pourrait-il rentrer dans une boîte de mêmes dimensions que ce parallélépipède ? Justifier.

Repère
conseils

Repérez bien les côtés de l’angle droit et l’hypoténuse des triangles rectangles $\text{ABD}$ et $\text{BDH}$.

 

Repère
Solution

a. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle $\text{ABD}$ rectangle en $\text{A}$ : ${\text{BD}}^2={\text{AB}}^2+{\text{AD}}^2={12}^2+8^2$

ou encore ${\text{BD}}^2=208$, donc $\text{BD}=4\sqrt{13}$ ≈14,4.

b. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle $\text{BDH}$ rectangle en $\text{D}$ : ${\text{BH}}^2={\text{BD}}^2+{\text{DH}}^2=208+9^2$

ou encore ${\text{BH}}^2=289$, donc $\text{BH}=17$.

c. Puisque 14,4 < 16,5 < 17, pour rentrer dans la boîte, le crayon doit être disposé selon une diagonale ($\left[\text{BH}\right]$ par exemple).

Résoudre un problème à l’aide du théorème de Pythagore

Deux chemins rectilignes $D_1$ et $D_2$ se coupent perpendiculairement en O. Deux très bons marcheurs $P_1$ et $P_2$ partent simultanément du point O et prennent chacun un des deux chemins à vitesse constante : $v_1=2\text{ m/s}$ pour $P_1$ et $v_2=\mathrm{2,5}\text{ m/s}$ pour $P_2$.

Calculer la distance séparant les deux marcheurs 600 secondes après leur départ. En donner une valeur approchée au mètre près.

Repère
conseils

Calculez les distances parcourues par chacun des marcheurs en 600 secondes, puis appliquez le théorème de Pythagore au triangle obtenu.

 

Repère
Solution

Au bout de 600 secondes, $P_1$ sera en A avec $\text{OA}=2\times 600=1200$ m et $P_2$ sera en B avec $\text{OB}=\mathrm{2,5}\times 600=1500$ m.

Le triangle OAB est rectangle en O.

Le théorème de Pythagore permet d’écrire : ${\text{AB}}^{\text{2}}={\text{OA}}^{\text{2}}+{\text{OB}}^{\text{2}}$.

${\text{AB}}^{\text{2}}={\text{1 200}}^{\text{2}}+{\text{1 500}}^{\text{2}}=\text{3 690 000}$,

soit $\text{AB}=\sqrt{\text{3 690 000}}$.

Nous obtenons $\text{AB}=\text{1 921}$ m, valeur approchée au mètre près.