Découvrir la sphère

Rappels de cours

1 Section d’une sphère par un plan

Soit une sphère de centre O et de rayon R et soit un plan 𝒫 .

Notons h la distance entre le point O et le plan 𝒫 . Alors h = OH.

• Si h > R, alors le plan ne coupe pas la sphère.

• Si h = R, alors le plan est tangent à la sphère.

• Si h < R, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle.

2 Coordonnées géographiques

 On représente la Terre par une sphère.

• La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.

• Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.

• Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.

 Tout point P situé sur Terre est repéré par :

– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point P et le méridien de Greenwich 

– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point P et l’équateur.

Méthodes

Étudier la section d’une sphère par un plan

Soit une sphère $S$ de centre $\text{O}$ et de rayon $R=15\text{ cm}$. On coupe cette sphère par un plan $P$ tel que la distance du point $\text{O}$ à ce plan (représentée par le segment $\left[\text{OH}\right]$ sur la figure) soit égale à $\text{12 cm}$.

Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère $S$ et du plan $P$ ?

En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).

Repère
conseils

Appliquez le théorème de Pythagore.

 

Repère
Solution

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ce cercle $C$ a pour centre $\text{H}$. Son rayon $r=\text{HA}$ peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $\text{AHO}$ rectangle en $\text{H}$ :

${\text{AH}}^{\text{2}}+{\text{OH}}^{\text{2}}={\text{OA}}^{\text{2}}$,

soit $r^2=R^2-{\text{OH}}^2$ ou $r^2={15}^2-{12}^2=81$.

Donc $r=9\text{ cm}$.

Calculer la longueur d’un grand cercle

La Terre est assimilée à une boule de rayon $R=6370\text{ km}$.

Calculer la longueur de l’équateur.

Repère
Solution

Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.

Notons $L$ la longueur de ce cercle. Alors :

$L=2\times \pi \times R$, soit $L=2\times \pi \times 6370$ km

ou encore, arrondie au km, $L=40024\text{ km}$.