Rappels de cours
1 Section d’une sphère par un plan
Soit une sphère de centre O et de rayon R et soit un plan 𝒫 .
Notons h la distance entre le point O et le plan 𝒫 . Alors h = OH.
- Si h > R, alors le plan ne coupe pas la sphère.
- Si h = R, alors le plan est tangent à la sphère.
- Si h < R, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle.
2 Coordonnées géographiques
On représente la Terre par une sphère.
- La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.
Tout point P situé sur Terre est repéré par :
– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point P et le méridien de Greenwich
– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point P et l’équateur.
Méthodes
Étudier la section d’une sphère par un plan
Soit une sphère de centre et de rayon . On coupe cette sphère par un plan tel que la distance du point à ce plan (représentée par le segment sur la figure) soit égale à .
Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère et du plan ?
En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).
Repère
conseilsAppliquez le théorème de Pythagore.
Repère
SolutionLa section d’une sphère par un plan est un cercle.
Ce cercle a pour centre . Son rayon peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en :
,
soit ou .
Donc .
Calculer la longueur d’un grand cercle
La Terre est assimilée à une boule de rayon .
Calculer la longueur de l’équateur.
Repère
SolutionNous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.
Notons la longueur de ce cercle. Alors :
, soit km
ou encore, arrondie au km, .