Découvrir la sphère

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Rappels de cours

1 Section d’une sphère par un plan

Soit une sphère de centre O et de rayon R et soit un plan 𝒫 .

Notons h la distance entre le point O et le plan 𝒫 . Alors h = OH.

  • Si h > R, alors le plan ne coupe pas la sphère.

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  • Si h = R, alors le plan est tangent à la sphère.

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  • Si h < R, alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle.

2 Coordonnées géographiques

 On représente la Terre par une sphère.

  • La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.
  • Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.
  • Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.

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 Tout point P situé sur Terre est repéré par :

– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point P et le méridien de Greenwich 

– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point P et l’équateur.

Méthodes

Étudier la section d’une sphère par un plan

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Soit une sphère S de centre O et de rayon R=15 cm. On coupe cette sphère par un plan P tel que la distance du point O à ce plan (représentée par le segment [OH] sur la figure) soit égale à 12 cm.

Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère S et du plan P ?

En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).

Repère
conseils

Appliquez le théorème de Pythagore.

 

Repère
Solution

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

Ce cercle C a pour centre H. Son rayon r=HA peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AHO rectangle en H :

AH2+OH2=OA2,

soit r2=R2OH2 ou r2=152122=81.

Donc r=9 cm.

Calculer la longueur d’un grand cercle

La Terre est assimilée à une boule de rayon R=6 370 km.

Calculer la longueur de l’équateur.

Repère
Solution

Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.

Notons L la longueur de ce cercle. Alors :

L=2×π×R, soit L=2×π×6370 km

ou encore, arrondie au km, L=40024 km.