Calcul de probabilités et espérance mathématique (2)

Exercice 1

L'univers des possibles de l'expérience est :
$\Omega = \{FF; FA; FC; AF; AA; AC; CF; CA; CC\}$.
L'arbre de probabilité devra donc présenter 9 issues.

On tire une première carte (sur les 32) et on ne la remet pas puisque le tirage est sans remise. Pour le second tirage, on choisit une carte parmi 31.

Dans un jeu de 32 cartes, on dénombre :

• $3 \times 4 = 12$ figures (F)

• 4 as (A)

• 16 autres cartes (C)

Pour chacune des 9 issues de l'arbre pondéré, on peut déjà noter le gain obtenu à l'issue de l'expérience.

👉 Conseil : note les gains directement dans les branches de l’arbre, cela rend la suite beaucoup plus lisible.

L'ensemble des valeurs possibles de $G$ est :
$G(\Omega) = \{-2; 1; 2; 4; 5; 6\}$

Calcul des probabilités :

• $p(G=-2) = (16/32)\times(15/31) = 240/992$

• $p(G=1) = (12/32)\times(16/31) + (16/32)\times(12/31) = 384/992$

• $p(G=2) = (12/32)\times(11/31) = 132/992$

• $p(G=4) = (4/32)\times(11/31) + (11/32)\times(4/31) = 128/992$

• $p(G=5) = (12/32)\times(4/31) + (4/32)\times(12/31) = 96/992$

• $p(G=6) = (4/32)\times(3/31) = 12/992$

👉 Conseil : pour éviter les oublis, traite systématiquement les gains deux par deux (par symétrie) quand c’est possible.

Tableau de la loi de $G$ :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline G \dfrac{}{}& -2 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline p(G) & \frac{240}{992} & \frac{384}{992} & \frac{132}{992} & \frac{128}{992} & \frac{96}{992} & \frac{12}{992} \\ \hline \end{array}$

À la calculatrice :

• Espérance $E(G) \approx 1,25$ euros

• Variance $V(G) \approx 5,29$

• Écart-type $\sigma(G) \approx 2,3$ euros

👉 Conseil : interprète toujours les résultats : ici, l’espérance est positive (jeu favorable au joueur), mais l’écart-type élevé montre un risque important.

Si le joueur doit miser 2 euros, son espérance de gain devient :
$E(G) - 2 = -0,75$.

Pour l’organisateur, le gain est : $X = -G+2$.
Donc $E(X) = -E(G)+2 = -1,25+2=0,75$.

👉 Conseil : la linéarité de l’espérance est un outil très puissant pour simplifier ce type de calcul.

Jeu équitable $\Leftrightarrow E(G)-m=0 \Rightarrow m=1,25$.

Exercice 2

A) Cas particulier $n=3$

1. Loi de probabilité de $X$
   Dans un cube de 3 cm de coté, on peut découper $3^3=27$ dés de $1 \ \text{cm}^3$.
   Le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité, donc la probabilité de tirage de chaque dé est de $1/27$.
   Selon la position initiale du dé dans le cube, le nombre de faces rouges du dé, donc $X$, peut être égal à 3, 2, 1 ou 0.

On dénombre :

• 8 dés avec 3 faces rouges, correspondants aux 8 sommets du cube initial, soit $p(X=3) = 8 \times 1/27 = 8/27$

• 12 dés avec 2 faces rouges, soit $p(X=2)=12/27$

• 6 dés avec 1 face rouge, soit $p(X=1)=6/27$

• 1 dé sans aucune face rouge, soit $p(X=0)=1/27$

👉 Conseil : pour éviter les erreurs de comptage, pense aux positions géométriques : sommets, arêtes, faces et intérieur du cube.

Le graphique ci-dessous peut aider à dénombrer le nombre de dés à 2 faces rouges (ici, mis en évidence en violet).

On peut présenter la loi de probabilité de X dans le tableau suivant :$\Rightarrow p(X=0)=1/27$

Tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p(X)\dfrac{}{} & \frac{1}{27} & \frac{6}{27} & \frac{12}{27} & \frac{8} {27} \\ \hline \end{array}$

On vérifie que $\dfrac{1}{27} + \dfrac{6}{27} + \dfrac{12}{27} + \dfrac{8}{27} = 1$.

2. Espérance de X
   $E(X) = \dfrac{1}{27}(0\times1 + 1\times6 + 2\times12 + 3\times8) = 54/27 = 2$.

En moyenne sur un grand nombre de tirages, on peut espérer que le dé tiré ait 2 faces rouges.

👉 Conseil : une espérance de 2 se comprend bien intuitivement car, sur 6 faces, 2 sont rouges en moyenne.

3. Variance de X

$V(X) = \displaystyle \sum x_i^2\times p(X=x_i) - (E(X))^2$

$V(X) = \dfrac{1}{27}(0^2 \times 1 + 1^2 \times 6 + 2^2 \times 12 + 3^2 \times 8) - 2^2 = \dfrac{2}{3}$

Écart-type de $X$ : $\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx 0,82$

👉 Conseil : l’écart-type donne une idée de la variabilité : ici les valeurs ne s’écartent pas trop de la moyenne 2.

B) Cas général $n$

1. Loi de probabilité de $X$
   Dans un cube de $n$ cm de coté, on peut découper $n^3$ dés de $1 \ \text{cm}^3$.
   Le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité, donc la probabilité de tirage de chaque dé est de $1/n^3$.

On dénombre :

• 8 dés avec 3 faces rouges : les 8 sommets du cube.

• $12(n-2)$ dés avec 2 faces rouges : $(n-2)$ dés sur chaque arête.

• $6(n-2)^2$ dés avec 1 seule face rouge : sur chaque face carrée de coté $n$, on déduit les dés déjà comptés sur le périmètre.

• $(n-2)^3$ dés sans face rouge : "l'intérieur" du cube initial.

On vérifie que :
$\dfrac{(n-2)^3}{n^3} + \dfrac{6(n-2)^2}{n^3} + \dfrac{12(n-2)}{n^3} + \dfrac{8}{n^3} = 1$

Tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline p(X) & \dfrac{(n-2)^3}{n^3} & \dfrac{6(n-2)^2}{n^3} & \dfrac{12(n-2)}{n^3} & \dfrac{8}{n^3} \\ \hline \end{array}$

2. Espérance de X

$E(X) = \displaystyle \sum x_i \times p(X=x_i)$

$E(X) = 0\times\dfrac{(n-2)^3}{n^3} + 1\times\dfrac{6(n-2)^2}{n^3} + 2\times\dfrac{12(n-2)}{n^3} + 3\times\dfrac{8}{n^3}$

$E(X) = \dfrac{6n^2-24n+24+24n-48+24}{n^3} = \dfrac{6n^2}{n^3} = \dfrac{6}{n}$

👉 Conseil : pense à développer et simplifier soigneusement avant de factoriser, ça évite les erreurs de calcul.

3. Jeu équitable

Chaque face rouge gagne 1 euro, donc le gain aléatoire du joueur est assimilable à la variable aléatoire $X$.
Le gain algébrique du joueur est égal à ce qu'il a gagné, moins sa mise de 1 euro.

Le jeu sera équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle, soit $E(X-1)=0$.

On résout l’équation :
$E(X) - 1 = 0$
$E(X) = 1$
$\dfrac{6}{n}=1 \Rightarrow n=6$

👉 Conseil : ici, la mise équilibre le jeu uniquement si $n=6$, donc si le cube initial mesure 6 cm de côté.

Exercice 3

Partie A

1. Soit $A$ l'événement "le chiffre sur le dé est 1" (et donc il tire une boule dans l'urne A).
   Il y a 2 manières d'obtenir une boule rouge :
   $\checkmark$ soit il obtient 1 au dé et il tire une des 4 boules rouges parmi les 10 boules de l'urne A :
   $p(\text{A} \cap \text{R}) = p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{R}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{1}{15}$
   
   $\checkmark$ soit il n'obtient pas 1 au dé et il tire la seule boule rouge parmi les 10 boules de l'urne B :
   $p(\bar{\text{A}} \cap \text{R}) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60}$
   D'où : $p(\text{R}) = p(\text{A} \cap \text{R}) + p(\bar{\text{A}} \cap \text{R}) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20} = \boxed{0,15}$

👉 Conseil : on applique ici la formule des probabilités totales en décomposant selon $A$ (lancer du dé égal à 1) et $\bar A$.

2. On calcule $p_{\text{R}}(\text{A})$ : $p_{\text{R}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{R})}{p(\text{R})} = \dfrac{1/15}{0,15} \approx 0,44$ et donc $p_{\text{R}}(\text{B}) = p_{\text{R}}(\bar{\text{A}}) = 1 - p_{\text{R}}(\text{A}) \approx 0,56$
   Si la boule tirée est rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne A n'est donc pas supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de l'urne B.

👉 Conseil : $p_{\text{R}}(\text{A})$ est une probabilité a posteriori (formule de Bayes) : on “révise” la probabilité de $A$ sachant que l’événement $R$ est réalisé.

Partie B

1. $\text{G} = 2x$ si et seulement si les 2 boules tirées sont rouges, donc $p(\text{G} = 2x) = p(\text{RR}) = p(\text{R})^2 = 0,15^2 = \boxed{0,0225}$
   $\text{G} = x - 2$ si et seulement si la 1ère boule est rouge mais pas la 2ème ou la 2ème mais pas la 1ère, donc :
   $p(\text{G} = x-2) = p((\text{R} \bar{\text{R}}) \cup (\bar{\text{R}} \text{R})) = 2p(\text{R})p(\bar{\text{R}}) = 2p(\text{R})(1 -p (\text{R})) \ = 2 \times 0,15 \times 0,85 = \boxed{0,255}$
   $\text{G} = -4$ si et seulement si les 2 boules tirées ne sont pas rouges, donc $p(\text{G} = -4) = p(\bar{\text{R}} \bar{\text{R}}) = (1 - p(\text{R}))^2 = 0,85^2 = \boxed{0,7225}$

👉 Conseil : les deux épreuves sont indépendantes (les urnes sont “remises à zéro”), d’où l’usage des produits $p(\text{R})^2$, $2p(\text{R})p(\bar{\text{R}})$, $(1-p(\text{R}))^2$.

2. Calcul de l'espérance mathématique
   $E(\text{G}) = 2x\,p(\text{G} = 2x) + (x-2)\,p(\text{G} = x-2) - 4\,p(\text{G} = -4)\\ = 0,0225 \times 2x + 0,255 \times (x-2) - 0,7225 \times 4\\ = \boxed{0,3x-3,4}$

👉 Conseil : garde l’expression symbolique jusqu’au bout (ici en $x$), puis simplifie numériquement ; ça limite les erreurs.

3. $E(\text{G}) \ge 0 : \Longleftrightarrow : 0,3x-3,4\ge0 : \Longleftrightarrow : 0,3x\ge3,4 : \Longleftrightarrow : \boxed{x\ge 11,33}$ $\text{ L'entier } x \text{ devra donc être supérieur ou égal à 12. }$

👉 Conseil : n’oublie pas la contrainte d’intégralité sur $x$ à la fin : on arrondit au supérieur pour satisfaire l’inégalité.