Un mouvement aléatoire d'une puce

On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées $A$ , $B$ et $C$ . A l'instant $0$ , la puce est en $A$ . Pour tout entier naturel $n$ :

$\bullet\quad$ si à l'instant $n$ la puce est en $A$ , alors à l'instant $(n + 1)$ , elle est :

$\qquad\checkmark\quad$ soit en $B$ avec une probabilité égale à $\dfrac13$ ;

$\qquad\checkmark\quad$ soit en $C$ avec une probabilité égale à $\dfrac23$ .

$\bullet\quad$ si à l'instant $n$ la puce est en $B$ , alors à l'instant $(n + 1)$ , elle est :

$\qquad\checkmark\quad$ soit en $C$ , soit en $A$ de façon équiprobable.

$\bullet\quad$ si à l'instant $n$ la puce est en $C$ , alors elle y reste.

On note $A_n$ (respectivement $B_n$ , $C_n$ ) l'événement « à l'instant $n$ la puce est en $A$ » (respectivement en $B$ , en $C$ ).

On note $a_n$ (respectivement $b_n$ , $c_n$ ) la probabilité de l'événement $A_n$ , (respectivement $B_n$ , $C_n$ ).

On a donc : $a_0 = 1$ , $b_0 = c_0 = 0$ .

Pour traiter l'exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.

Calculer $a_k$ , $b_k$ et $c_k$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leq k \leq 3$ .
a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_n + b_n + c_n = 1$ et $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac12b_n\\[3mm] b_{n+1}&=& \dfrac13a_n\ \end{matrix}\right.$

b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+2} = \dfrac16a_n$ .

c) En déduire que, pour tout entier naturel $p$ , $\left\lbrace\begin{matrix} a_{2p} = \left(\dfrac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\ b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \dfrac13\left(\dfrac16\right)^p\ \end{matrix}\right.$

Montrer que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ .

On admet que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 0$ . Quelle est la limite de $c_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Calculons $a_k$ , $b_k$ et $c_k$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leq k \leq 3$ :

A l'instant $0$ , la puce est en $A$ , ainsi on a :

$a_1 = 0 \hspace{20pt} b_1 = \dfrac{1}{3} \hspace{20pt} c_1 = \dfrac{2}{3}$

Pour la suite, aidons nous d'un arbre pondéré :

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Ainsi :

$a_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ b_2 = 0\\ c_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$

$a_3 = 0\\ b_3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18}\\[3 mm] c_3 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{17}{18}$

Montrons que, pour tout entier naturel $n$ , $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac12 b_n \\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac13 a_n \ \end{matrix}\right.$ :

Soit $n$ un entier naturel.

Soit à l'instant $n$ , la puce est sur la case $A$ (avec la probabilité $a_n$ , alors elle saute à l'instant $n + 1$ sur la case $B$ avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$ , ou sur la case $C$ avec une probabilité $\dfrac{2}{3}$ . Ainsi :

$P_{A_n}(A_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} , \hspace{20pt} P_{A_n}(B_{n+1}) = \dfrac13 \hspace{20pt} P_{A_n}(C_{n+1}) = \dfrac23$

Soit à l'instant $n$ , la puce est sur la case $B$ (avec la probabilité $b_n$ ), alors elle saute à l'instant $n + 1$ sur la case $A$ avec une probabilité $\dfrac{1}{2}$ , ou sur la case $C$ avec une probabilité $\dfrac{1}{2}$ . Ainsi :

$P_{B_n}(A_{n+1}) = \dfrac12 \hspace{20pt} P_{B_n}(B_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{B_n}(C_{n+1}) = \dfrac{1}{2}$

Soit à l'instant $n$ , la puce est sur la case $C$ (avec la probabilité $c_n$ ), alors elle reste sur la case $C$ . Ainsi :

$P_{C_n}(A_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{C_n}(B_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{C_n}(C_{n+1}) = 1$

D'où :

$a_{n+1} = P(A_{n+1})\\{\phantom{a_{n+1}} = P(A_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))}\\ {\phantom{a_{n+1}} = P((A_{n+1} \cap A_n) \cup (A_{n+1} \cap B_n) \cup (A_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{a_{n+1}} = P(A_n) P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(A_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(A_{n+1})}\\ {\phantom{a_{n+1}} = \dfrac{1}{2}b_n}$

$b_{n+1} = P(B_{n+1}) = P(B_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\{\phantom{b_{n+1}} = P((B_{n+1} \cap A_n) \cup (B_{n+1} \cap B_n) \cup (B_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{b_{n+1}} = P(A_n) P_{A_n}(B_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(B_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(B_{n+1})}\\ {\phantom{b_{n+1}} = \dfrac{1}{3}a_n}$

$c_{n+1} = P(C_{n+1}) = P(C_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\{\phantom{c_{n+1}} = P((C_{n+1} \cap A_n) \cup (C_{n+1} \cap B_n) \cup (C_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{c_{n+1}}= P(A_n) P_{A_n}(C_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(C_{n+1}) + P(C_n)P_{C_n}(C_{n+1})}\\ {\phantom{c_{n+1}}= \dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2}b_n + c_n}$

Et par suite, nous avons : pour tout entier naturel $n$ , $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac12 b_n \\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac13 a_n \ \end{matrix}\right.$ .

Montrons que, pour tout entier naturel $n$ , $a_n + b_n + c_n = 1$ :

Montrons par un raisonnement par récurrence sur $n \ge 0$ que $a_n + b_n + c_n = 1$ .

$\bullet\quad$ Pour $n = 0$ :

$a_0 + b_0 + c_0 = 1$

Ainsi, la propriété est démontrée pour $n = 0$ .

$\bullet\quad$ On suppose que pour un $n$ donné, on a : $a_n + b_n + c_n = 1$ .

$a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{3}a_n + \dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2}b_n + c_n = a_n + b_n + c_n$

D'après l'hypothèse de récurrence, nous avons : $a_n + b_n + c_n = 1$ .

Par suite : $a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = 1$ .

Autrement dit, pour tout entier naturel $n$ , nous avons bien : $a_n + b_n + c_n = 1$ .

b) Montrons que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+2} = \dfrac16 a_n$ :

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_n\\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac{1}{3} a_n \end{matrix}\right.$ .

Soit $n$ un entier naturel.

$a_{n+2} = \dfrac{1}{2} b_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}a_n = \dfrac{1}{6}a_n$

c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel $p$ , $\left\lbrace\begin{matrix} a_{2p} = \left(\dfrac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\[3 mm] b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \dfrac13\left(\dfrac16\right)^p\ \end{matrix}\right.$ :

Montrons par un raisonnement par récurrence sur $p \ge 0$ , que : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$ :

$\bullet\quad$ Pour $p = 0$ :

$a_0 = 1 \hspace{20pt} a_1 = 0 \hspace{20pt} b_0 = 0 \hspace{20pt} b_1 = \dfrac{1}{3}$

Ainsi pour $p = 0$ , la propriété est démontrée.

$\bullet\quad$ Supposons par récurrence que pour un entier naturel $p$ donné, nous avons : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$

Et montrons que : $a_{2p+2} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p+1} \text{ et } a_{2p+3} = 0$

D'après précédemment :

$a_{2p+2} = \dfrac{1}{6}a_{2p} \text{ et } a_{2p+3} = \dfrac{1}{6}a_{2p+1}$

Par hypothèse de récurrence, nous avons : $a_{2p+2} = \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^p = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p+1}$

Et $a_{2p+3} = \dfrac{1}{6} a_{2p+1} = 0$

Ainsi pour tout entier naturel $p$ , nous avons : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$

On a : $b_0 = 0$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$

Soit $p$ un entier naturel non nul.

D'après la question 2.a), nous avons :

$b_{2p} = \dfrac{1}{3} a_{2p-1} = 0\\[3 mm] b_{2p+1} = \dfrac{1}{3} a_{2p} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{6}\right)^p$

Ainsi pour tout entier naturel $p$ , on a : $\left\lbrace\begin{matrix} a_{2p} &=& \left(\dfrac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0 \\[3 mm] b_{2p} &=& 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \dfrac13\left(\dfrac16\right)^p\ \end{matrix}\right.$

Montrons que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ :

$\displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ a_{2p} = \displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ \left(\dfrac{1}{6}\right)^p = 0$ car $0 < \dfrac16 < 1$

Et $\displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ a_{2p+1} = 0$

Ainsi $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ a_n = 0$

Comme pour tout entier naturel $n$ , $b_n = \dfrac{1}{3}a_n$ et que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ a_n = 0$ ,

alors $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ b_n = 0$

Déterminons la limite de $c_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ :

Comme pour tout entier naturel $n$ , nous avons $a_n + b_n + c_n = 1$ ,

Et que $\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle\lim\limits_{n \to + \infty} ~ a_n &=& 0 \\ \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ b_n &=& 0 \ \end{matrix}\right.$

Alors : $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ c_n = 1$

Un mouvement aléatoire d'une puce

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