Un mouvement aléatoire d'une puce

1. Calculons $a_k$, $b_k$ et $c_k$ pour $k$ entier naturel tel que $1 \leq k \leq 3$ :

A l'instant $0$, la puce est en $A$, ainsi on a :

$a_1 = 0 \hspace{20pt} b_1 = \dfrac{1}{3} \hspace{20pt} c_1 = \dfrac{2}{3}$

Pour la suite, aidons nous d'un arbre pondéré :

Ainsi :

$a_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ b_2 = 0\\ c_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6}$

et

$a_3 = 0\\ b_3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18}\\[3 mm] c_3 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{17}{18}$

2. a)

Montrons que, pour tout entier naturel $n$, $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac12 b_n \\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac13 a_n \ \end{matrix}\right.$ :

Soit $n$ un entier naturel.

Soit à l'instant $n$, la puce est sur la case $A$ (avec la probabilité $a_n$, alors elle saute à l'instant $n + 1$ sur la case $B$ avec une probabilité $\dfrac{1}{3}$, ou sur la case $C$ avec une probabilité $\dfrac{2}{3}$. Ainsi :

$P_{A_n}(A_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} , \hspace{20pt} P_{A_n}(B_{n+1}) = \dfrac13 \hspace{20pt} P_{A_n}(C_{n+1}) = \dfrac23$

Soit à l'instant $n$, la puce est sur la case $B$ (avec la probabilité $b_n$), alors elle saute à l'instant $n + 1$ sur la case $A$ avec une probabilité $\dfrac{1}{2}$, ou sur la case $C$ avec une probabilité $\dfrac{1}{2}$. Ainsi :

$P_{B_n}(A_{n+1}) = \dfrac12 \hspace{20pt} P_{B_n}(B_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{B_n}(C_{n+1}) = \dfrac{1}{2}$

Soit à l'instant $n$, la puce est sur la case $C$ (avec la probabilité $c_n$), alors elle reste sur la case $C$. Ainsi :

$P_{C_n}(A_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{C_n}(B_{n+1}) = 0 \hspace{20pt} P_{C_n}(C_{n+1}) = 1$

D'où :

$a_{n+1} = P(A_{n+1})\\{\phantom{a_{n+1}} = P(A_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))}\\ {\phantom{a_{n+1}} = P((A_{n+1} \cap A_n) \cup (A_{n+1} \cap B_n) \cup (A_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{a_{n+1}} = P(A_n) P_{A_n}(A_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(A_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(A_{n+1})}\\ {\phantom{a_{n+1}} = \dfrac{1}{2}b_n}$

$b_{n+1} = P(B_{n+1}) = P(B_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\{\phantom{b_{n+1}} = P((B_{n+1} \cap A_n) \cup (B_{n+1} \cap B_n) \cup (B_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{b_{n+1}} = P(A_n) P_{A_n}(B_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(B_{n+1}) + P(C_n) P_{C_n}(B_{n+1})}\\ {\phantom{b_{n+1}} = \dfrac{1}{3}a_n}$

$c_{n+1} = P(C_{n+1}) = P(C_{n+1} \cap (A_n \cup B_n \cup C_n))\\{\phantom{c_{n+1}} = P((C_{n+1} \cap A_n) \cup (C_{n+1} \cap B_n) \cup (C_{n+1} \cap C_n))}\\ {\phantom{c_{n+1}}= P(A_n) P_{A_n}(C_{n+1}) + P(B_n) P_{B_n}(C_{n+1}) + P(C_n)P_{C_n}(C_{n+1})}\\ {\phantom{c_{n+1}}= \dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2}b_n + c_n}$

Et par suite, nous avons : pour tout entier naturel $n$, $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac12 b_n \\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac13 a_n \ \end{matrix}\right.$.

Montrons que, pour tout entier naturel $n$, $a_n + b_n + c_n = 1$ :

Montrons par un raisonnement par récurrence sur $n \ge 0$ que $a_n + b_n + c_n = 1$.

$\bullet\quad$ Pour $n = 0$ :

$a_0 + b_0 + c_0 = 1$

Ainsi, la propriété est démontrée pour $n = 0$.

$\bullet\quad$On suppose que pour un $n$ donné, on a : $a_n + b_n + c_n = 1$.

$a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = \dfrac{1}{2}b_n + \dfrac{1}{3}a_n + \dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2}b_n + c_n = a_n + b_n + c_n$

D'après l'hypothèse de récurrence, nous avons : $a_n + b_n + c_n = 1$.

Par suite : $a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = 1$.

Autrement dit, pour tout entier naturel $n$, nous avons bien : $a_n + b_n + c_n = 1$.

2. b) Montrons que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+2} = \dfrac16 a_n$ :

Pour tout entier naturel $n$, nous avons $\left\lbrace\begin{matrix} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_n\\[3 mm] b_{n+1} &=& \dfrac{1}{3} a_n \end{matrix}\right.$.

Soit $n$ un entier naturel.

$a_{n+2} = \dfrac{1}{2} b_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}a_n = \dfrac{1}{6}a_n$

2. c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel $p$, $\left\lbrace\begin{matrix} a_{2p} = \left(\dfrac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0\\[3 mm] b_{2p} = 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \dfrac13\left(\dfrac16\right)^p\ \end{matrix}\right.$ :

Montrons par un raisonnement par récurrence sur $p \ge 0$, que : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$ :

$\bullet\quad$Pour $p = 0$ :

$a_0 = 1 \hspace{20pt} a_1 = 0 \hspace{20pt} b_0 = 0 \hspace{20pt} b_1 = \dfrac{1}{3}$

Ainsi pour $p = 0$, la propriété est démontrée.

$\bullet\quad$Supposons par récurrence que pour un entier naturel $p$ donné, nous avons : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$

Et montrons que : $a_{2p+2} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p+1} \text{ et } a_{2p+3} = 0$

D'après précédemment :

$a_{2p+2} = \dfrac{1}{6}a_{2p} \text{ et } a_{2p+3} = \dfrac{1}{6}a_{2p+1}$

Par hypothèse de récurrence, nous avons : $a_{2p+2} = \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^p = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p+1}$

Et $a_{2p+3} = \dfrac{1}{6} a_{2p+1} = 0$

Ainsi pour tout entier naturel $p$, nous avons : $a_{2p} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{p} \text{ et } a_{2p+1} = 0$

On a : $b_0 = 0$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$

Soit $p$ un entier naturel non nul.

D'après la question 2.a), nous avons :

$b_{2p} = \dfrac{1}{3} a_{2p-1} = 0\\[3 mm] b_{2p+1} = \dfrac{1}{3} a_{2p} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{6}\right)^p$

Ainsi pour tout entier naturel $p$, on a : $\left\lbrace\begin{matrix} a_{2p} &=& \left(\dfrac16\right)^p & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & a_{2p+1} = 0 \\[3 mm] b_{2p} &=& 0 & \hspace{10pt} \text{et} \hspace{10pt} & b_{2p+1} = \dfrac13\left(\dfrac16\right)^p\ \end{matrix}\right.$

3. Montrons que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = 0$ :

$\displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ a_{2p} = \displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ \left(\dfrac{1}{6}\right)^p = 0$ car $0 < \dfrac16 < 1$

Et $\displaystyle\lim\limits_{p \to +\infty} ~ a_{2p+1} = 0$

Ainsi $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ a_n = 0$

Comme pour tout entier naturel $n$, $b_n = \dfrac{1}{3}a_n$ et que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ a_n = 0$,

alors $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ b_n = 0$

Déterminons la limite de $c_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ :

Comme pour tout entier naturel $n$, nous avons $a_n + b_n + c_n = 1$,

Et que $\left\lbrace\begin{matrix} \displaystyle\lim\limits_{n \to + \infty} ~ a_n &=& 0 \\ \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ b_n &=& 0 \ \end{matrix}\right.$

Alors : $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} ~ c_n = 1$