Agilité

Thalès : réciproque ou contraposée ?

Énoncé

Exercice 1

Dans un triangle ABCABC, MM est sur [AB][AB] et NN sur [AC][AC].

On donne : AM=5,4AM=5,4cm, AB=9AB=9cm, AN=6AN=6cm, AC=10AC=10cm.

\circ Peut-on affirmer que (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles ?

\circ Si oui, donner le rapport MNBC\dfrac{MN}{BC}.


Exercice 2

Sur un triangle PQRPQR, on considère les points MM sur [PQ][PQ] et NN sur [PR][PR].

On donne : PM=3,5PM=3,5cm, PQ=5PQ=5cm, PN=4PN=4cm, PR=7PR=7cm.

\circ Peut-on affirmer que (MN)(MN) est parallèle à (QR)(QR) ?

\circ Justifier la réponse en précisant ce que cela implique pour les rapports.


Exercice 3

picture-in-text

Les droites (d)(d) et (d)(d') sont sécantes en AA.

Les points BB et MM sont deux points de (d)(d) et les points CC et NN sont deux points de (d)(d').

On donne : AM=4,2AM=4,2cm, AB=7AB=7cm, AN=5,4AN=5,4cm, AC=9AC=9cm.

\circ Peut-on affirmer que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles ?

\circ Si oui, exprimer le rapport MNBC\dfrac{MN}{BC}.

Exercice 4

picture-in-text

Les droites (d)(d) et (d)(d') sont sécantes en AA.

Les points BB et MM sont deux points de (d)(d), et les points CC et NN sont deux points de (d)(d').

On donne : AM=2,7AM=2,7cm, AB=4,5AB=4,5cm, AN=3,2AN=3,2cm, AC=5AC=5cm.

\circ Peut-on affirmer que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles ?

\circ Justifier précisément la réponse.

Révéler le corrigé

Corrigé

👉 Conseils

\checkmark Commence toujours ton exercice en faisant un dessin à main levée,

\checkmark Utilise des couleurs similaires pour des droites dont on te dit qu'elles sont parallèles.

\checkmark Si je ne sais pas que des droites sont parallèles, je calcule des rapports. Ou ils sont égaux, et j'utilise la réciproque ; ou ils ne sont pas égaux, et j'utilise la contraposée.

\checkmark Pour la réciproque, penser à dire que les points sont rangés dans le même ordre !

Exercice 1

👉 Réciproque du théorème de Thalès (configuration classique)

On cherche à vérifier si (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

On calcule AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.

\circ AMAB=5,49=0,6\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5,4}{9}=0,6

\circ ANAC=610=0,6\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{6}{10}=0,6

On a AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}.

A,M,BA ,M,B et A,N,CA ,N ,C sont alignés dans le même ordre.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)(BC)(MN)\parallel(BC).

\circ Le rapport est donc :

MNBC=0,6\dfrac{MN}{BC}=0,6


Exercice 2

👉 Contraposée du théorème de Thalès

On cherche à vérifier si (MN)(MN) et (QR)(QR) sont parallèles.

On calcule PMPQ\dfrac{PM}{PQ} et PNPR\dfrac{PN}{PR}.

\circ PMPQ=3,55=0,7\dfrac{PM}{PQ}=\dfrac{3,5}{5}=0,7

\circ PNPR=470,571\dfrac{PN}{PR}=\dfrac{4}{7}\approx0,571

Les deux rapports ne sont pas égaux.

P,M,QP, M, Q et P,N,RP, N, R sont alignés dans le même ordre.

Donc, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (QR)(QR) ne sont pas parallèles.

\circ Cela signifie que (MN)(MN) n'est pas parallèle à (QR)(QR).


Exercice 3

👉 Réciproque du théorème de Thalès (configuration papillon)

On est en configuration papillon.

On calcule AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.

\circ AMAB=4,27=0,6\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4,2}{7}=0,6

\circ ANAC=5,49=0,6\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{5,4}{9}=0,6

On a AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}.

Les points B,A,MB, A, M et C,A,NC, A, N sont alignés dans le même ordre.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)(BC)(MN)\parallel(BC).

\circ Le rapport est donc :

MNBC=0,6\dfrac{MN}{BC}=0,6

Exercice 4

👉 Contraposée du théorème de Thalès (configuration papillon)

On est en configuration papillon.

On cherche à vérifier si (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.

On calcule AMAB\dfrac{AM}{AB} et ANAC\dfrac{AN}{AC}.

\circ AMAB=2,74,5=0,6\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2,7}{4,5}=0,6

\circ ANAC=3,25=0,64\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3,2}{5}=0,64

Les deux rapports sont différents.

Les points B,A,MB, A, M et C,A,NC, A, N sont alignés dans le même ordre.

Donc, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

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