Thalès : pour aller plus loin
Énoncé
Exercice 1
Deux élèves de 3ème, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.
Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points et ainsi que les points et sont alignés.
Calculer la hauteur de la Gyrotour.
Exercice 2
Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott. Elle est partie d’une altitude de mètres et arrivera au sommet à une altitude de mètres. Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point et le sommet par le point . Aurélie est actuellement au point .
1) Justifier que le dénivelé qu’Aurélie aura parcouru, c’est-à-dire la hauteur , est égal à m.
2) a) Prouver que les droites et sont parallèles.
b) Montrer que la distance qu’Aurélie doit encore parcourir, c’est-à-dire la longueur , est d’environ m.
3) On utilisera pour la longueur la valeur m. Sachant qu’Aurélie roule à une vitesse moyenne de km/h, si elle part à 9h55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ? Arrondir à la minute.
4) La pente d'une route est obtenue par le calcul suivant :
La pente s’exprime en pourcentage. Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de 22,5%.
Révéler le corrigé
Révéler le corrigé
Exercice 1
Dans la configuration décrite, les points sont alignés dans cet ordre ; les points sont alignés dans cet ordre ; et les droites et sont parallèles (car la Gyrotour et Marie sont toutes les deux verticales). D’après le théorème de Thalès, on peut en déduire que :
Or m, m et m, donc
, d'où .
La Gyrotour mesure donc m de haut.
Exercice 2
1. Calcul du dénivelé parcouru
Le dénivelé parcouru est donné par la différence d'altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas :
m.
Le dénivelé est donc de 142 m.
2. Détermination de la distance par le théorème de Thalès
a)
Puisque les droites et sont perpendiculaires à une même droite , on en déduit qu'elles sont parallèles entre elles.
b)
Selon le théorème de Thalès appliqué dans le triangle , avec sur et sur , et sachant que , on peut écrire :
ce qui peut être réarrangé en :
.
Les valeurs connues sont :
m
m
m
Ainsi :
m.
On en déduit :
m, soit environ m.
3. Temps nécessaire pour parcourir la distance
La vitesse de déplacement est de km/h.
On convertit :
km/h m/min m/min.
Pour parcourir m, il faut :
minutes, soit environ 4 minutes.
Si le départ a lieu à 9h55, l'arrivée aura lieu aux alentours de 9h59.
4. Calcul de la pente de la route
Pour déterminer la pente, il faut connaître la longueur du segment .
Comme le triangle est rectangle en , on applique le théorème de Pythagore :
d'où : .
On a :
m
m
Ainsi :
Donc : m.
La pente est donnée par le rapport entre le dénivelé et la distance horizontale :
soit 22,5%.