Thalès : pour aller plus loin

Exercice 1

Dans la configuration décrite, les points $A, D, C$ sont alignés dans cet ordre ; les points $A, E, B$ sont alignés dans cet ordre ; et les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles (car la Gyrotour et Marie sont toutes les deux verticales). D’après le théorème de Thalès, on peut en déduire que :

$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$

Or $AD=2$m, $AC=2+54,25=56,25$m et $DE=1,60$m, donc

$\dfrac{2}{56,25}=\dfrac{1,60}{BC}$, d'où $BC=\dfrac{56,25\times1,60}{2}=45$.

La Gyrotour mesure donc $45$m de haut.

Exercice 2

1. Calcul du dénivelé parcouru

Le dénivelé parcouru est donné par la différence d'altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas :

$393-251=142$m.

Le dénivelé est donc de 142 m.

2. Détermination de la distance $DE$ par le théorème de Thalès

a)
Puisque les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont perpendiculaires à une même droite $(AC)$, on en déduit qu'elles sont parallèles entre elles.

b)
Selon le théorème de Thalès appliqué dans le triangle $AEC$, avec $B$ sur $(AC)$ et $D$ sur $(AE)$, et sachant que $(DB)\parallel(EC)$, on peut écrire :

$\dfrac{BD}{EC}=\dfrac{AD}{AE}$

ce qui peut être réarrangé en :

$AE=\dfrac{EC\times AD}{BD}$.

Les valeurs connues sont :

• $EC=142$m

• $AD=51,25$m

• $BD=11,25$m

Ainsi :

$AE=\dfrac{142\times51,25}{11,25}\approx646,89$m.

On en déduit :

$DE=AE-AD\approx646,89-51,25=595,64$m, soit environ $596$ m.

3. Temps nécessaire pour parcourir la distance $DE$

La vitesse de déplacement est de $8$km/h.

On convertit :

$8$km/h $=\dfrac{8000}{60}$m/min $\approx133,3$m/min.

Pour parcourir $596$m, il faut :

$\dfrac{596}{133,3}\approx4,47$minutes, soit environ 4 minutes.

Si le départ a lieu à 9h55, l'arrivée aura lieu aux alentours de 9h59.

4. Calcul de la pente de la route

Pour déterminer la pente, il faut connaître la longueur du segment $AC$.

Comme le triangle $ACE$ est rectangle en $C$, on applique le théorème de Pythagore :

$AC^2+CE^2=AE^2$

d'où : $AC^2=AE^2-CE^2$.

On a :

• $AE\approx646,89$m

• $CE=393-251=142$m

Ainsi :

$AC^2=646,89^2-142^2$

$AC^2\approx398~769$

Donc : $AC\approx\sqrt{398~769}\approx631$m.

La pente est donnée par le rapport entre le dénivelé et la distance horizontale :

$\dfrac{142}{631}\approx0,225$ soit 22,5%.