Pyramide et cône (2)

Exercice 1

Énoncé : Un cône de révolution a une hauteur de 8 cm et le rayon de sa base est 6 cm. Combien mesure une génératrice, c’est-à-dire un segment reliant le sommet du cône à un point du cercle de la base ?

Étape 1 : Comprendre la situation géométrique
Dans un cône de révolution, la génératrice, la hauteur et le rayon forment un triangle rectangle.

• la hauteur est perpendiculaire à la base,

• le rayon est dans le plan de la base,

• la génératrice est l’hypoténuse.
  👉 Conseil : dès que tu vois “hauteur + rayon + génératrice”, pense au théorème de Pythagore.

Étape 2 : Identifier les longueurs du triangle rectangle

• hauteur : $8~\text{cm}$

• rayon : $6~\text{cm}$

• génératrice : $g$ (longueur cherchée)
  👉 Conseil : fais toujours un petit schéma mental du triangle rectangle.

Étape 3 : Appliquer le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle :
$g^2 = 8^2 + 6^2$

Donc :
$g^2 = 64 + 36$
$g^2 = 100$
👉 Conseil : calcule séparément les carrés pour éviter les erreurs.

Étape 4 : Calculer la génératrice
$g = \sqrt{100} = 10~\text{cm}$
👉 Conseil : vérifie que la longueur trouvée est plus grande que le rayon et la hauteur, ce qui est normal pour une hypoténuse.

Conclusion
La bonne réponse est A : 10 cm.
👉 Conseil : dans un cône, la génératrice se calcule toujours avec Pythagore.

Exercice 2

Énoncé : Une glace a la forme d'un cône de hauteur 10 cm et de diamètre de base 6 cm. Quel est son volume, au millilitre près ?

Étape 1 : Identifier les données utiles
La hauteur du cône est $h=10~\text{cm}$.
Le diamètre de la base est $6~\text{cm}$, donc le rayon est $r=3~\text{cm}$.
👉 Conseil : attention, la formule du volume utilise le rayon, jamais le diamètre.

Étape 2 : Rappeler la formule du volume d’un cône
Le volume d’un cône est donné par :
$V=\frac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h$
👉 Conseil : pense toujours au facteur $\frac{1}{3}$, c’est l’erreur la plus fréquente.

Étape 3 : Remplacer par les valeurs numériques
$V=\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2 \times 10$

$V=\frac{1}{3}\times \pi \times 9 \times 10$
$V=30\pi$
👉 Conseil : simplifie avant de calculer avec $\pi$, c’est plus propre et plus rapide.

Étape 4 : Calculer la valeur approchée
$V \approx 30 \times 3{,}14$
$V \approx 94{,}2~\text{cm}^3$
👉 Conseil : $1~\text{cm}^3 = 1~\text{mL}$, inutile de convertir.

Étape 5 : Arrondir au millilitre près
$V \approx 94~\text{mL}$
👉 Conseil : regarde bien l’unité demandée avant de conclure.

Conclusion
La bonne réponse est D : 94 mL.
👉 Conseil : pour les volumes de cônes, vérifie toujours rayon, hauteur et facteur $\frac{1}{3}$.

Exercice 3

Énoncé : Une pièce d’un jeu de construction pour enfants est représentée sur le schéma ci-dessous : c’est un cône de révolution tronqué. L’aire du disque de base est de $120~\text{cm}^2$. Quelle est l’aire du disque du haut (penser à Thalès) ?

Étape 1 : Comprendre la situation
Le solide est un cône tronqué, obtenu en coupant un cône par un plan parallèle à la base.
On a donc deux cônes semblables :

• le grand cône (entier),

• le petit cône du haut (enlevé).
  👉 Conseil : dès qu’un plan est parallèle à la base, pense immédiatement à Thalès et aux figures semblables.

Étape 2 : Lire les longueurs sur le schéma
La hauteur du grand cône est $12~\text{cm}$ (deux segments de $6~\text{cm}$).
La hauteur du petit cône est $6~\text{cm}$.
👉 Conseil : repère bien les longueurs alignées sur la même droite, ce sont elles qui servent pour Thalès.

Étape 3 : Appliquer le théorème de Thalès sur les rayons
Les rayons sont proportionnels aux hauteurs :

$\dfrac{r_{\text{petit}}}{r_{\text{grand}}}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$

👉 Conseil : commence toujours par comparer les longueurs, pas les aires.

Étape 4 : Passer des rayons aux aires
L’aire d’un disque est proportionnelle au carré du rayon.
Donc :

$\dfrac{A_{\text{petit}}}{A_{\text{grand}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

👉 Conseil : rayon $\rightarrow$ puissance 2 pour les aires.

Étape 5 : Calculer l’aire du disque du haut
$A_{\text{petit}}=\dfrac{1}{4}\times120=30~\text{cm}^2$
👉 Conseil : fais toujours le calcul numérique à la fin.

Conclusion
La bonne réponse est B : $30~\text{cm}^2$.
👉 Conseil : dans les cônes tronqués, Thalès est incontournable pour relier longueurs et aires.

Exercice 4

Énoncé : Quel est le volume de la pièce de jeu de la question précédente ?

Étape 1 : Comprendre la forme du solide
La pièce est un cône de révolution tronqué.
Son volume est égal au volume du grand cône moins le volume du petit cône retiré.
👉 Conseil : pour un cône tronqué, pense toujours « grand cône − petit cône ».

Étape 2 : Identifier les données connues
D’après la question précédente :

• aire du disque de base (grand cône) : $A_{\text{grand}}=120~\text{cm}^2$

• aire du disque du haut (petit cône) : $A_{\text{petit}}=30~\text{cm}^2$

D’après le schéma :

• hauteur du grand cône : $12~\text{cm}$

• hauteur du petit cône : $6~\text{cm}$
  👉 Conseil : vérifie toujours que les hauteurs correspondent bien aux bases utilisées.

Étape 3 : Calculer le volume du grand cône
Volume d’un cône : $V=\frac{1}{3}\times A_{\text{base}}\times h$

$V_{\text{grand}}=\frac{1}{3}\times120\times12$
$V_{\text{grand}}=480~\text{cm}^3$
👉 Conseil : utiliser l’aire de la base évite de recalculer le rayon.

Étape 4 : Calculer le volume du petit cône
$V_{\text{petit}}=\frac{1}{3}\times30\times6$
$V_{\text{petit}}=60~\text{cm}^3$
👉 Conseil : même formule, seule la base et la hauteur changent.

Étape 5 : Calculer le volume du cône tronqué
$V_{\text{pièce}}=V_{\text{grand}}-V_{\text{petit}}$

$V_{\text{pièce}}=480-60=420~\text{cm}^3$
👉 Conseil : fais la soustraction en toute fin pour éviter les erreurs.

Conclusion
La bonne réponse est C : $420~\text{cm}^3$.
👉 Conseil : un cône tronqué se traite toujours par différence de volumes.