Loi exponentielle et intervalle de confiance

Comme $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on sait que $P(X\leq 2)=\displaystyle\int_0^2\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\left[-\text e^{-\lambda x}\right]_0^2=1-\text e^{-2\lambda}$.
Alors, $1-\text e^{-2\lambda}=0.15 \text{ soit } \text e^{-2\lambda}=0,85 \text{ ou encore } -2\lambda=\ln(0,85)$
On obtient : $\boxed{\lambda=-\dfrac{\ln(0,85)}{2}}$

a) On a $P(X\geq3)=1-P(X<3)=1-\displaystyle\int_0^3\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\text e^{-3\lambda}$.
Ainsi, $\boxed{P(X\geq3)=\text e^{-3\lambda}\approx 0,78}$

b) Soient $t \text{ et } h$ réels positifs. Par définition des probabilités conditionnelles :
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\dfrac{P(\lbrace X\geq t+h\rbrace\cap\lbrace X\geq t\rbrace)}{P(X\geq t)}=\dfrac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq t)}=\dfrac{\text e^{-\lambda(t+h)}}{\text e^{-\lambda t}}=\text e^{-\lambda h}=P(X\geq h)$
On a donc montré que $\boxed{\text{Pour tous } t \text{ et }h \text{ réels positifs, } P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)}$.

Cette propriété est appelée "propriété de non-vieillissement".

c) La probabilité demandée est $P_{X\geq3}(X\geq 3+2)$. D'après la question précédente, cette probabilité vaut $P(X\geq2)$ et donc la probabilité pour que le moteur fonctionne encore deux ans est $\boxed{P(X\geq2)=\text e^{-2\lambda}\approx 0,85}$

d) D'après le cours, $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
Ainsi, la durée de vie moyenne d'un moteur produit par l'entreprise est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 12,35$ ans.

On observe une fréquence $f=\dfrac{15}{800}\approx 0,019$ de moteurs défectueux. On va vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de moteurs défectueux suit une loi binomiale de paramètre $(n=800~,~p=0,01)$ donc, comme $n\geq30,\ np\geq5,\ n(1-p)\geq 5$, l'intervalle de confiance asymptotique est $I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~;~ p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=[0,003 ~;~ 0,017]$.
Ainsi, la fréquence observée n'appartient à l'intervalle de confiance au seuil de 95 % donc l'annonce de l'entreprise A est rejetée.