Loi exponentielle et intervalle de confiance

Énoncé

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X\leq 2)=0,15$ .
Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$ .

Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de $\lambda$ .

a) Déterminer $P(X\geq 3)$ .
b) Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h$ , $P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)$ .
c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
d) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.

Comme $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , on sait que $P(X\leq 2)=\displaystyle\int_0^2\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\left[-\text e^{-\lambda x}\right]_0^2=1-\text e^{-2\lambda}$ .
Alors, $1-\text e^{-2\lambda}=0.15 \text{ soit } \text e^{-2\lambda}=0,85 \text{ ou encore } -2\lambda=\ln(0,85)$
On obtient : $\boxed{\lambda=-\dfrac{\ln(0,85)}{2}}$
a) On a $P(X\geq3)=1-P(X<3)=1-\displaystyle\int_0^3\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\text e^{-3\lambda}$ .
Ainsi, $\boxed{P(X\geq3)=\text e^{-3\lambda}\approx 0,78}$
b) Soient $t \text{ et } h$ réels positifs. Par définition des probabilités conditionnelles :
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\dfrac{P(\lbrace X\geq t+h\rbrace\cap\lbrace X\geq t\rbrace)}{P(X\geq t)}=\dfrac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq t)}=\dfrac{\text e^{-\lambda(t+h)}}{\text e^{-\lambda t}}=\text e^{-\lambda h}=P(X\geq h)$
On a donc montré que $\boxed{\text{Pour tous } t \text{ et }h \text{ réels positifs, } P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)}$ .
Cette propriété est appelée "propriété de non-vieillissement".
c) La probabilité demandée est $P_{X\geq3}(X\geq 3+2)$ . D'après la question précédente, cette probabilité vaut $P(X\geq2)$ et donc la probabilité pour que le moteur fonctionne encore deux ans est $\boxed{P(X\geq2)=\text e^{-2\lambda}\approx 0,85}$
d) D'après le cours, $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
Ainsi, la durée de vie moyenne d'un moteur produit par l'entreprise est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 12,35$ ans.
On observe une fréquence $f=\dfrac{15}{800}\approx 0,019$ de moteurs défectueux. On va vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de moteurs défectueux suit une loi binomiale de paramètre $(n=800~,~p=0,01)$ donc, comme $n\geq30,\ np\geq5,\ n(1-p)\geq 5$ , l'intervalle de confiance asymptotique est $I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~;~ p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=[0,003 ~;~ 0,017]$ .
Ainsi, la fréquence observée n'appartient à l'intervalle de confiance au seuil de 95 % donc l'annonce de l'entreprise A est rejetée.

Énoncé

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X\leq 2)=0,15$ .
Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$ .

Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de $\lambda$ .

a) Déterminer $P(X\geq 3)$ .
b) Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h$ , $P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)$ .
c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
d) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.

Comme $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , on sait que $P(X\leq 2)=\displaystyle\int_0^2\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\left[-\text e^{-\lambda x}\right]_0^2=1-\text e^{-2\lambda}$ .
Alors, $1-\text e^{-2\lambda}=0.15 \text{ soit } \text e^{-2\lambda}=0,85 \text{ ou encore } -2\lambda=\ln(0,85)$
On obtient : $\boxed{\lambda=-\dfrac{\ln(0,85)}{2}}$
a) On a $P(X\geq3)=1-P(X<3)=1-\displaystyle\int_0^3\lambda \text e^{-\lambda x}\text{d}x=\text e^{-3\lambda}$ .
Ainsi, $\boxed{P(X\geq3)=\text e^{-3\lambda}\approx 0,78}$
b) Soient $t \text{ et } h$ réels positifs. Par définition des probabilités conditionnelles :
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\dfrac{P(\lbrace X\geq t+h\rbrace\cap\lbrace X\geq t\rbrace)}{P(X\geq t)}=\dfrac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq t)}=\dfrac{\text e^{-\lambda(t+h)}}{\text e^{-\lambda t}}=\text e^{-\lambda h}=P(X\geq h)$
On a donc montré que $\boxed{\text{Pour tous } t \text{ et }h \text{ réels positifs, } P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)}$ .
Cette propriété est appelée "propriété de non-vieillissement".
c) La probabilité demandée est $P_{X\geq3}(X\geq 3+2)$ . D'après la question précédente, cette probabilité vaut $P(X\geq2)$ et donc la probabilité pour que le moteur fonctionne encore deux ans est $\boxed{P(X\geq2)=\text e^{-2\lambda}\approx 0,85}$
d) D'après le cours, $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
Ainsi, la durée de vie moyenne d'un moteur produit par l'entreprise est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 12,35$ ans.
On observe une fréquence $f=\dfrac{15}{800}\approx 0,019$ de moteurs défectueux. On va vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de moteurs défectueux suit une loi binomiale de paramètre $(n=800~,~p=0,01)$ donc, comme $n\geq30,\ np\geq5,\ n(1-p)\geq 5$ , l'intervalle de confiance asymptotique est $I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ~;~ p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=[0,003 ~;~ 0,017]$ .
Ainsi, la fréquence observée n'appartient à l'intervalle de confiance au seuil de 95 % donc l'annonce de l'entreprise A est rejetée.

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