Intervalle de fluctuation et loi binomiale

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I. Définition

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale, et soit $\alpha \in {0 ; 1}$.
Un intervalle $[a ; b]$ (avec $a$ et $b$ réels) tel que $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) \geq 1 - \alpha$
est appelé intervalle de fluctuation au seuil de $1 - \alpha$ (ou intervalle de fluctuation au risque $\alpha$) associé à $X$.

II. Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale, et $\alpha \in \{0 ; 1\}$.

$\circ\quad$ L’intervalle $[0 ; b]$, où $b$ est le plus petit entier tel que $\mathbb{P}(X \leq b) \geq 1 - \alpha$,
est un intervalle de fluctuation à gauche au seuil de $1 - \alpha$ associé à $X$.

$\circ\quad$ L’intervalle $[a ; n]$, où $a$ est le plus petit entier tel que $\mathbb{P}(X \leq a) > \alpha$
et où $n$ est le nombre de répétitions associé à $X$, est un intervalle de fluctuation à droite au seuil de $1 - \alpha$.

$\circ\quad$ L’intervalle $[a ; b]$, où $a$ et $b$ sont les plus petits entiers vérifiant respectivement :

$\mathbb{P}(X \leq a) \gt \dfrac{\alpha}{2}$ et $\mathbb{P}(X \leq b) \geq 1 - \dfrac{\alpha}{2}$

est un intervalle de fluctuation centré (ou bilatéral) au seuil de $1 - \alpha$.

Remarque :
Les deux premières propriétés précédentes donnent les plus petits intervalles de fluctuation associés à $X$ respectivement de la forme $[0 ; b]$ et $[a ; n]$.

III. Exemples

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathcal{B}(50 ; 0{,}3)$, et $\alpha = 0{,}05$ (donc $1 - \alpha = 0{,}95$).

Exemple 1 : intervalle de fluctuation à gauche

On cherche un entier $b$ tel que $\mathbb{P}(X \leq b) \geq 0{,}95$ mais $\mathbb{P}(X \leq b - 1) < 0{,}95$.

À l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel :

$\mathbb{P}(X \leq 17) \approx 0{,}938$ donc $\mathbb{P}(X \leq 17) < 0{,}95$
$\mathbb{P}(X \leq 18) \approx 0{,}962$ donc $\mathbb{P}(X \leq 18) \geq 0{,}95$

Ainsi, $[0 ; 18]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de $1 - \alpha = 0{,}95$ associé à $X$.

On peut donc affirmer, avec au moins 95 % de confiance, qu’il n’y aura pas plus de 18 succès sur les 50 répétitions.

L'axe des abscisses correspond aux valeurs possibles de $X$.

La ligne verticale en pointillés indique la borne $b = 20$ telle que $\mathbb{P}(X \leq 20) \geq 0{,}95$.

On a donc un intervalle de fluctuation à gauche $[0 ; 20]$.

Exemple 2 : intervalle de fluctuation à droite

On a :

$\mathbb{P}(X \leq 8) \approx 0{,}046$ donc $\mathbb{P}(X \leq 8) \leq 0{,}05$
et $\mathbb{P}(X \leq 9) \approx 0{,}067$ donc $\mathbb{P}(X \leq 9) > 0{,}05$

Ainsi, $[9 ; 50]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de $1 - \alpha = 0{,}95$ associé à $X$ :
on est sûr, à au moins 95 %, qu’il y aura au moins 9 succès sur les 50 répétitions.

Voici la représentation graphique de l’intervalle de fluctuation à droite pour la loi $\mathcal{B}(50 ; 0{,}3)$ avec un seuil $1 - \alpha = 0{,}95$ :

La ligne verticale pointillée marque la borne $9$ telle que $\mathbb{P}(X \leq 9) \leq 0{,}05$

Ainsi, l'intervalle de fluctuation est $[10 ; 50]$

Exemple 3 :

On a : $\dfrac{\alpha}{2} = 0{,}025$ et $1 - \dfrac{\alpha}{2} = 0{,}975$

Recherche de $a$ tel que $\mathbb{P}(X \leq a) > \dfrac{\alpha}{2}$ et de $b$ tel que $\mathbb{P}(X \leq b) \geq 1 - \dfrac{\alpha}{2}$.

Avec la table ou un outil de calcul :

• $\mathbb{P}(X \leq 7) \approx 0{,}021$ donc $\mathbb{P}(X \leq 7) \leq 0{,}025$
• $\mathbb{P}(X \leq 8) \approx 0{,}046$ donc $\mathbb{P}(X \leq 8) > 0{,}025$

• $\mathbb{P}(X \leq 20) \approx 0{,}968$ donc $\mathbb{P}(X \leq 20) < 0{,}975$
• $\mathbb{P}(X \leq 21) \approx 0{,}979$ donc $\mathbb{P}(X \leq 21) \geq 0{,}975$

Ainsi, $[8 ; 21]$ est un intervalle de fluctuation centré au seuil de $1 - \alpha = 0{,}95$ associé à $X$ :
on est sûr, à au moins 95 %, d’obtenir entre 8 et 21 succès sur les 50 répétitions.

Voici la représentation graphique de l’intervalle de fluctuation centré pour la loi $\mathcal{B}(50 ; 0{,}3)$ au seuil $1 - \alpha = 0{,}95$ :

$\mathbb{P}(X \leq 8) \leq 0{,}025$

$\mathbb{P}(X \geq 23) \leq 0{,}025$

Donc l’intervalle de fluctuation centré est $[9 ; 22]$

Comparaison :

Voici une vue d’ensemble visuelle des trois types d’intervalles de fluctuation (à gauche, à droite, centré) pour la loi $\mathcal{B}(50 ; 0{,}3)$ au seuil $1 - \alpha = 0{,}95$ :

$\circ$ À gauche : $[0 ; 20]$

$\circ$ À droite : $[10 ; 50]$

$\circ$ Centré : $[9 ; 22]$

IV. Commandes calculatrices

$\checkmark$ TI-83 Premium CE

1. On tabule la fonction $k \mapsto \mathbb{P}(X \leq k)$ en appuyant sur
   2nde → DISTR → choisir A:binomcdf(

2. Puis on tape :

3. Ensuite, on affiche le tableau de valeurs avec la touche TABLE.

$\checkmark$ Casio GRAPH 90+E

1. Dans le menu principal, aller dans 7:Table

2. Entrer la fonction : Y1 = BinomialCD(x, 60, 0.4)

3. Lancer le calcul et afficher le tableau avec F6:Table

$\checkmark$ NumWorks

1. Aller dans le menu Fonctions

2. Créer une fonction $f(x)$ avec : f(x) = binomcdf(60, 0.4, x)

(tape shift + = pour accéder au menu des fonctions statistiques, puis choisir Loi binomiale)

3. Ensuite, afficher le tableau de valeurs avec la touche Table