Loi exponentielle

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Dans cette leçon, tu vas découvrir la loi exponentielle, une loi de probabilité continue sur ℝ⁺. Tu apprendras à reconnaître sa densité, calculer des probabilités, déterminer son espérance, utiliser sa fonction de répartition, et comprendre une propriété essentielle : l’absence de mémoire. Mots-clés : loi exponentielle, densité, probabilité, intégrale, fonction de répartition, espérance, absence de mémoire.

👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

I. Densité de probabilité sur R+\mathbb{R}^+

Définition :
Soit λ\lambda un réel strictement positif.

La fonction ff définie sur R+\mathbb{R}^+ par : f(t)=λ e−λtf(t) = \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} est une densité de probabilité sur R+\mathbb{R}^+.

II. Loi exponentielle de paramètre λ\lambda

Définition :
On appelle loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda \gt 0, notée E(λ)\mathcal{E}(\lambda), la loi de probabilité dont la densité est : f(t)=λ,e−λtf(t) = \lambda ,\text{e}^{- \lambda t} pour t∈R+t \in \mathbb{R}^+

Propriété :
Soit X∼E(λ)X \sim \mathcal{E}(\lambda), avec λ>0\lambda \gt 0. Pour tous réels aa, cc et dd strictement positifs, on a :

∘\circ\quad P(X≤a)=1−e−λa\mathbb{P}(X \leq a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}
∘\circ\quad P(X≥a)=e−λa\mathbb{P}(X \geq a) = \text{e}^{- \lambda a}
∘\circ\quad P(c≤X≤d)=e−λc−e−λd\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \text{e}^{- \lambda c} - \text{e}^{- \lambda d}

Démonstration :

P(X≤a)=∫0aλ e−λt dt\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) = \int_0^a \lambda \,\text{e}^{-\lambda t} \,\text{d}t

P(X≤a)=[−e−λt]0a\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= \left[ -\text{e}^{-\lambda t} \right]_0^a

P(X≤a)=−e−λa+e0=1−e−λa\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= -\text{e}^{-\lambda a} + \text{e}^{0} = 1 - \text{e}^{-\lambda a}

P(X≥a)=1−P(X<a)\displaystyle \mathbb{P}(X \geq a) = 1 - \mathbb{P}(X < a)

P(X≤a)=1−P(X≤a)\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= 1 - \mathbb{P}(X \leq a)

P(X≤a)=1−(1−e−λa)\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= 1 - (1 - \text{e}^{-\lambda a})

P(X≤a)=e−λa\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= \text{e}^{-\lambda a}

P(c≤X≤d)=∫cdλ e−λt dt\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \int_c^d \lambda \,\text{e}^{-\lambda t} \,\text{d}t

P(c≤X≤d)=[−e−λt]cd\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) }= \left[ -\text{e}^{-\lambda t} \right]_c^d

P(c≤X≤d)=−e−λd+e−λc\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) } = -\text{e}^{-\lambda d} + \text{e}^{-\lambda c}

P(c≤X≤d)=e−λc−e−λd\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) }= \text{e}^{-\lambda c} - \text{e}^{-\lambda d}

III. Fonction de répartition

Si XX est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle E(λ)\mathcal{E}(\lambda), alors la fonction de répartition FF de XX est définie, pour tout x∈R+x \in \mathbb{R}^+, par : F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - \text{e}^{-\lambda x}

IV. Espérance

L’espérance d’une variable XX qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda est :

E(X)=1λ\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{\lambda}

Démonstration :
ff désigne la densité de la loi exponentielle de paramètre λ\lambda, soit f(t)=λ,e−λtf(t) = \lambda ,\text{e}^{- \lambda t}.

La fonction g:t↦tf(t)=tλ,e−λtg : t \mapsto t f(t) = t \lambda ,\text{e}^{- \lambda t} est continue sur tout intervalle [0;x][0 ; x] (avec x>0x\gt 0), donc elle admet une primitive sur cet intervalle.

Les fonctions t↦tt \mapsto t et t↦f(t)t \mapsto f(t) sont continues à dérivées continues, donc on peut utiliser une intégration par parties :

∫0xtλ e−λt dt=[−t e−λt]0x+∫0xe−λt dt\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t = \left[ -t \,\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x + \int_0^x \text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t

∫0xtλ e−λt dt=−x e−λx+[−1λ e−λt]0x\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = -x \,\text{e}^{- \lambda x} + \left[ -\dfrac{1}{\lambda} \,\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x

∫0xtλ e−λt dt=−x e−λx+(−1λ e−λx+1λ)\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = -x \,\text{e}^{- \lambda x} + \left( -\dfrac{1}{\lambda} \,\text{e}^{- \lambda x} + \dfrac{1}{\lambda} \right)

∫0xtλ e−λt dt=1λ−(x+1λ)e−λx\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = \dfrac{1}{\lambda} - \left( x + \dfrac{1}{\lambda} \right)\text{e}^{- \lambda x}

Puis en faisant tendre xx vers +∞+\infty, on obtient :

E(X)=lim⁡x→+∞∫0xtλ e−λt dt=1λ\displaystyle \mathbb{E}(X) = \lim_{x \to +\infty} \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}

V. Propriété de l'absence de mémoire de la loi exponentielle


Soit X∼E(λ)X \sim \mathcal{E}(\lambda) avec λ>0\lambda \gt 0.
Pour tous réels t>0t \gt 0 et h>0h \gt 0, on a :

PX>t(X>t+h)=P(X>h)\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \mathbb{P}(X \gt h)

C’est la propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle.

Démonstration :

PX>t(X>t+h)\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) est une probabilité conditionnelle, donc :

PX>t(X>t+h)=P(X>t∩X>t+h)P(X>t)\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \dfrac{\mathbb{P}(X \gt t \cap X \gt t + h)}{\mathbb{P}(X \gt t)}

Or, si X>t+hX \gt t + h alors nécessairement X>tX \gt t, donc :

P(X>t∩X>t+h)=P(X>t+h)\mathbb{P}(X \gt t \cap X \gt t + h) = \mathbb{P}(X \gt t + h)

D’où :

PX>t(X>t+h)=P(X>t+h)P(X>t)\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \dfrac{\mathbb{P}(X \gt t + h)}{\mathbb{P}(X \gt t)}

PX>t(X>t+h)=e−λ(t+h)e−λt\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \dfrac{\text{e}^{-\lambda(t + h)}}{\text{e}^{-\lambda t}}

PX>t(X>t+h)=e−λh\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \text{e}^{-\lambda h}

PX>t(X>t+h)=P(X>h)\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \mathbb{P}(X \gt h)

VI. Exemple

Soit un appareil dont la durée de vie, exprimée en années, est modélisée par une variable aléatoire XX suivant une loi exponentielle de paramètre λ=0,1\lambda = 0{,}1.

Solution :
Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,1\lambda = 0{,}1.

On considère la probabilité conditionnelle suivante :

PX>3(X>5)=PX>3(X>3+2)=P(X>2)\mathbb{P}_{X \gt 3}(X \gt 5) = \mathbb{P}_{X \gt 3}(X \gt 3 + 2) = \mathbb{P}(X \gt 2)

Interprétation :
Si l’appareil a déjà fonctionné pendant plus de 3 ans, alors la probabilité qu’il fonctionne encore 2 ans de plus (soit plus de 5 ans en tout) est la même que la probabilité (non conditionnelle) de fonctionner plus de 2 ans.

Remarque :
On dit alors que la loi exponentielle est sans vieillissement, ou qu’elle possède la propriété d’absence de mémoire.

Leçon précédente
Loi uniforme sur [a ; b]