Loi exponentielle

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I. Densité de probabilité sur $\mathbb{R}^+$

Définition :
Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f(t) = \lambda \,\text{e}^{- \lambda t}$ est une densité de probabilité sur $\mathbb{R}^+$.

II. Loi exponentielle de paramètre $\lambda$

Définition :
On appelle loi exponentielle de paramètre $\lambda \gt 0$, notée $\mathcal{E}(\lambda)$, la loi de probabilité dont la densité est : $f(t) = \lambda ,\text{e}^{- \lambda t}$ pour $t \in \mathbb{R}^+$

Propriété :
Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$, avec $\lambda \gt 0$. Pour tous réels $a$, $c$ et $d$ strictement positifs, on a :

$\circ\quad$ $\mathbb{P}(X \leq a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$
$\circ\quad$ $\mathbb{P}(X \geq a) = \text{e}^{- \lambda a}$
$\circ\quad$ $\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \text{e}^{- \lambda c} - \text{e}^{- \lambda d}$

Démonstration :

$\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) = \int_0^a \lambda \,\text{e}^{-\lambda t} \,\text{d}t$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= \left[ -\text{e}^{-\lambda t} \right]_0^a$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= -\text{e}^{-\lambda a} + \text{e}^{0} = 1 - \text{e}^{-\lambda a}$

$\displaystyle \mathbb{P}(X \geq a) = 1 - \mathbb{P}(X < a)$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= 1 - \mathbb{P}(X \leq a)$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= 1 - (1 - \text{e}^{-\lambda a})$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(X \leq a) }= \text{e}^{-\lambda a}$

$\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \int_c^d \lambda \,\text{e}^{-\lambda t} \,\text{d}t$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) }= \left[ -\text{e}^{-\lambda t} \right]_c^d$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) } = -\text{e}^{-\lambda d} + \text{e}^{-\lambda c}$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{P}(c \leq X \leq d) }= \text{e}^{-\lambda c} - \text{e}^{-\lambda d}$

III. Fonction de répartition

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, alors la fonction de répartition $F$ de $X$ est définie, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, par : $F(x) = 1 - \text{e}^{-\lambda x}$

IV. Espérance

L’espérance d’une variable $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est :

$\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{\lambda}$

Démonstration :
$f$ désigne la densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, soit $f(t) = \lambda ,\text{e}^{- \lambda t}$.

La fonction $g : t \mapsto t f(t) = t \lambda ,\text{e}^{- \lambda t}$ est continue sur tout intervalle $[0 ; x]$ (avec $x\gt 0$), donc elle admet une primitive sur cet intervalle.

Les fonctions $t \mapsto t$ et $t \mapsto f(t)$ sont continues à dérivées continues, donc on peut utiliser une intégration par parties :

$\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t = \left[ -t \,\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x + \int_0^x \text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t$

$\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = -x \,\text{e}^{- \lambda x} + \left[ -\dfrac{1}{\lambda} \,\text{e}^{- \lambda t} \right]_0^x$

$\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = -x \,\text{e}^{- \lambda x} + \left( -\dfrac{1}{\lambda} \,\text{e}^{- \lambda x} + \dfrac{1}{\lambda} \right)$

$\phantom{\displaystyle \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t }\displaystyle = \dfrac{1}{\lambda} - \left( x + \dfrac{1}{\lambda} \right)\text{e}^{- \lambda x}$

Puis en faisant tendre $x$ vers $+\infty$, on obtient :

$\displaystyle \mathbb{E}(X) = \lim_{x \to +\infty} \int_0^x t \lambda \,\text{e}^{- \lambda t} \,\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}$

V. Propriété de l'absence de mémoire de la loi exponentielle

Soit $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda \gt 0$.
Pour tous réels $t \gt 0$ et $h \gt 0$, on a :

$\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \mathbb{P}(X \gt h)$

C’est la propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle.

Démonstration :

$\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h)$ est une probabilité conditionnelle, donc :

$\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \dfrac{\mathbb{P}(X \gt t \cap X \gt t + h)}{\mathbb{P}(X \gt t)}$

Or, si $X \gt t + h$ alors nécessairement $X \gt t$, donc :

$\mathbb{P}(X \gt t \cap X \gt t + h) = \mathbb{P}(X \gt t + h)$

D’où :

$\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) = \dfrac{\mathbb{P}(X \gt t + h)}{\mathbb{P}(X \gt t)}$

$\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \dfrac{\text{e}^{-\lambda(t + h)}}{\text{e}^{-\lambda t}}$

$\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \text{e}^{-\lambda h}$

$\phantom{\mathbb{P}_{X \gt t}(X \gt t + h) }= \mathbb{P}(X \gt h)$

VI. Exemple

Soit un appareil dont la durée de vie, exprimée en années, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$.

Solution :
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$.

On considère la probabilité conditionnelle suivante :

$\mathbb{P}_{X \gt 3}(X \gt 5) = \mathbb{P}_{X \gt 3}(X \gt 3 + 2) = \mathbb{P}(X \gt 2)$

Interprétation :
Si l’appareil a déjà fonctionné pendant plus de 3 ans, alors la probabilité qu’il fonctionne encore 2 ans de plus (soit plus de 5 ans en tout) est la même que la probabilité (non conditionnelle) de fonctionner plus de 2 ans.

Remarque :
On dit alors que la loi exponentielle est sans vieillissement, ou qu’elle possède la propriété d’absence de mémoire.