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Loi exponentielle

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Énoncé

Une grande entreprise dispose d'un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé «temps de fonctionnement». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $\displaystyle t \ge 0,\quad P(X \le t) = \displaystyle\int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{-\lambda x}:\text{d}x$ .

On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.
Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de $\lambda$ et les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près.

Montrer qu'une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.
Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.
Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.
On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.
a) Quelle est la loi suivie par Y ?
b) Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures
c) Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche).

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👉 Rappels utiles.

On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda \gt 0$ . Pour tout $t \ge 0$ , on a :
$F(t)=P(X \le t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda\,\text e^{-\lambda x}\,\text dx=1-\text e^{-\lambda t}$ ,
et $P(X \gt t)=\text e^{-\lambda t}$ .

La loi exponentielle vérifie la propriété de « mémoire nulle » : pour tous $s,t \ge 0$ ,
$P_{X\gt s}(X \gt s+t)=P(X \gt t)$ .

$1.$ Détermination de $\lambda$ à partir de $P(X \le 7)=0{,}6$ . On écrit
$P(X \le 7)=1-\text e^{-7\lambda}=0{,}6 ;\Rightarrow; \text e^{-7\lambda}=0{,}4 ;\Rightarrow; -7\lambda=\ln(0{,}4) ;\Rightarrow; \lambda=-\dfrac{\ln(0{,}4)}{7}$ .
Calcul numérique : $\ln(0{,}4)\approx -0{,}9163$ , donc $\lambda\approx \dfrac{0{,}9163}{7}\approx 0{,}1309$ , soit $\lambda\simeq 0{,}131$ à $10^{-3}$ près.

Dans la suite, on prend $\lambda=0{,}131$ et on arrondit les probabilités au $10^{-2}$ .

$2.$ Probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à $5$ heures. On utilise la survie :
$P(X \gt 5)=\text e^{-\lambda\cdot 5}=\text e^{-0{,}131\times 5}=\text e^{-0{,}655}\approx 0{,}5194 \simeq 0{,}52$ .

$3.$ Probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à $9$ heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne pendant les $4$ premières heures. On veut $P(X \gt 9\mid X \gt 4)$ . Par mémoire nulle,
$P(X \gt 9\mid X \gt 4)=P(X \gt 9-4)=P(X \gt 5)=\text e^{-0{,}655}\approx 0{,}52$ .

$4.$ Probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre $6$ et $10$ heures. On calcule
$P(6 \le X \le 10)=F(10)-F(6)=(1-\text e^{-10\lambda})-(1-\text e^{-6\lambda})=\text e^{-6\lambda}-\text e^{-10\lambda}$ .
Numériquement, $\text e^{-6\lambda}=\text e^{-0{,}786}\approx 0{,}456$ et $\text e^{-10\lambda}=\text e^{-1{,}31}\approx 0{,}270$ , donc
$P(6 \le X \le 10)\approx 0{,}456-0{,}270=0{,}186 \simeq 0{,}19$ .

$5.$ $a.$ Échantillonnage de huit temps de fonctionnement et variable $Y$ . On relève $8$ temps indépendants et $Y$ compte le nombre de temps $\ge 5$ h.

$b.$ La loi de $Y$ . Chaque relevé est un succès avec probabilité $p=P(X \ge 5)=P(X \gt 5)=\text e^{-5\lambda}\approx 0{,}5194\simeq 0{,}52$ . Ainsi $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p\simeq 0{,}52$ , notée $Y\sim\mathcal B(8,,0{,}52)$ .

$c.$ Probabilité d’avoir exactement trois temps $\ge 5$ h. On a
$P(Y=3)=\dbinom{8}{3}p^{3}(1-p)^{5}\approx \dbinom{8}{3},(0{,}5194)^{3},(0{,}4806)^{5}\approx 0{,}201 \simeq 0{,}20$ .

Espérance de $Y$ . On utilise $E(Y)=np$ , d’où
$E(Y)\approx 8\times 0{,}5194\approx 4{,}16$ , soit $4$ après arrondissement à l’entier le plus proche.