Lire une tangente et interpréter le nombre dérivé

Exercice 1

1. La tangente passe par $A(1~;~2)$ et $B(2~;~5)$.

Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$.
On calcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$ :

$f'(1)=\dfrac{5-2}{2-1}$

$f'(1)=\dfrac{3}{1}=3$

Donc $f'(1)=3$.
👉 Conseil : pense toujours «pente = variation en $y$ sur variation en $x$».

2. La tangente passe par $A(-2~;~1)$ et $B(0~;~-3)$.

$f'(-2)=\dfrac{-3-1}{0-(-2)}$

$f'(-2)=\dfrac{-4}{2}=-2$

Donc $f'(-2)=-2$.
👉 Conseil : un nombre dérivé négatif signifie que la tangente descend quand on va vers la droite.

3. La tangente passe par $A(0~;~-1)$ et $B(3~;~2)$.

$f'(0)=\dfrac{2-(-1)}{3-0}$

$f'(0)=\dfrac{3}{3}=1$

Donc $f'(0)=1$.

4. La tangente passe par $A(2~;~4)$ et $B(6~;~4)$.

$f'(2)=\dfrac{4-4}{6-2}$

$f'(2)=\dfrac{0}{4}=0$

Donc $f'(2)=0$.
👉 Conseil : si $y$ ne change pas, la droite est horizontale, donc le coefficient directeur vaut $0$.

Exercice 2

1. $f'(3)=2$.

On sait que si $f'(x)>0$, alors $f$ est croissante.
Ici $2>0$, donc $f$ est croissante au voisinage de $x=3$.
Cela signifie que près de $x=3$, quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi, et la tangente monte.
👉 Conseil : ne confonds pas «croissante» avec «au-dessus de l’axe» : c’est la pente qui compte.

2. $f'(-1)=-0,5$.

On sait que si $f'(x)<0$, alors $f$ est décroissante.
Ici $-0,5<0$, donc $f$ est décroissante au voisinage de $x=-1$.
Cela signifie que près de $x=-1$, quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue, et la tangente descend.
👉 Conseil : une pente négative peut être «peu inclinée» : ici $-0,5$ indique une descente douce.

3. $f'(0)=0$.

Si $f'(0)=0$, alors le coefficient directeur de la tangente en $x=0$ est nul.
Donc la tangente est horizontale au point d’abscisse $0$.
👉 Conseil : tangente horizontale $\Rightarrow$ pente nulle, mais ça n’assure pas à elle seule un maximum ou un minimum.

Exercice 3

1. La tangente en $A$ monte quand on avance vers la droite.

Une droite qui monte vers la droite a un coefficient directeur positif.
Donc $f'(a)>0$.
👉 Conseil : «monte» $\Rightarrow$ signe $+$.

2. La tangente en $B$ descend quand on avance vers la droite.

Une droite qui descend vers la droite a un coefficient directeur négatif.
Donc $f'(b)<0$.
👉 Conseil : «descend» $\Rightarrow$ signe $-$.

3. La tangente en $C$ est horizontale.

Une droite horizontale a un coefficient directeur nul.
Donc $f'(c)=0$.
👉 Conseil : horizontale $\Rightarrow$ $f'(x)=0$.

4. Association :

Tangente qui monte $\Rightarrow~f'(x)>0$
Tangente qui descend $\Rightarrow~f'(x)<0$
Tangente horizontale $\Rightarrow~f'(x)=0$

Exercice 5

On modélise la position par $s(t)$ et on sait que $s'(2)=4$.

1. Que représente $s'(2)$ ?

La dérivée $s'(2)$ représente la variation instantanée de la position par rapport au temps à l’instant $t=2$.
Dans ce contexte, c’est la vitesse instantanée à $t=2$.
👉 Conseil : en physique, «position dérivée» $\Rightarrow$ vitesse instantanée.

2. Interpréter la valeur $4$ avec l’unité.

$s'(2)=4$ signifie qu’à l’instant $t=2$s, la vitesse instantanée du mobile est $4$ m/s.
👉 Conseil : ici l’unité de $s'(t)$ est $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ car on dérive une distance (mètres) par rapport au temps (secondes).