Nombre dérivé et fonction dérivée

En seconde, des courbes ont été tracées souvent grâce à la calculatrice. La notion de dérivée va permettre de connaître les variations d'une fonction de manière plus théorique.

I. Tangente à une courbe et nombre dérivé

Soit $A$ un point de la courbe $\mathcal C_f$. 

La sécante noire pivote autour du point fixe $A$ de la courbe lorsque le point $M$ se rapproche de $A$. La position limite de cette sécante est la droite rouge, appelée tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$.

Définition : Le nombre dérivé est le coefficient directeur de cette droite $\mathcal T_A$ appelée tangente en $A$ à la courbe $\mathcal C$.

Ecriture : Le nombre dérivé en $A$ d'abscisse $a$ à la courbe représentative de $f$ s'écrit $f'(a)$.

Lien avec la Physique : Un nombre dérivé représente une variation instantanée, cela peut être une vitesse instantanée.

Équation d'une tangente : Soit $A$ un point de coordonnées $\left(a\;;\;f(a\right))$

Quand l'abscisse augmente de 1, on lit sur la verticale la valeur de $f'(a)$.

Une équation de cette tangente $\mathcal T_A$ est donc : $y=f'(a)\times x+b$.

Il suffit de déterminer le réel $b$ en écrivant que $\mathcal T_A$ passe par le point $A$ dont on connaît les coordonnées.

Exemple : 

On a tracé une courbe et sa tangente au point $A$. Que vaut le nombre dérivé de $f$ en $1$ ?

Solution : 

On se positionne au point $A$. Quand $x$ augmente de $1$, on « monte » de $2$ pour se retrouver à nouveau sur la courbe. 

Le nombre dérivé de $f$ en $1$ vaut donc $2$.

On écrit : $f'(1)=2$

Si une équation de cette tangente est demandée : 

$\mathcal T_A\;:\;y=2x+b$ avec $b$ réel. Le point $A(1\;;\;1)$ appartient à $\mathcal T_A$ si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite, soit $1=2\times 1+b$. On trouve $1-2=b$ soit $b=-1$. 

$\mathcal T_A\;:\;y=2x-1$

II. Fonction dérivée

A toute abscisse d'un point d'une courbe $\mathcal C_f$, on fait correspondre le nombre dérivé en ce point. On construit ainsi ce qu'on appelle la fonction dérivée de $f$ et on la note $f'$.

Lien avec la physique : une fonction dérivée représente une variation globale.

Il existe des formules (ici admises) pour dériver une fonction.

$\begin{array} {|lcc|} \text{Fonction}&|&\text{Dérivée}\\ \hline \text{fonction constante }f(x)=a&|&f'(x)=0 \\\hline \text{fonction identité }f(x)=x&|& f'(x)=1 \\\hline \text{fonction carré }f(x)=x^2&|& f'(x)=2x \\\hline \text{fonction cube }f(x)=x^3&|& f'(x)=3x^2 \\\hline \text{une somme }f+g&|& f'+g' \\\hline \text{produit par un réel } af&|& af' \\\hline \end{array}$

Exemples : déterminer les fonctions dérivées de 

• $f(x)= x^2+3$

• $g(x)= 3x^2$

• $h(x)= 2x^3-x^2$

Solution : 

• $f(x)$ est une somme. La dérivée de $x^2$ est $2x$, la dérivée de $+3$ est $0$. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Donc : 

$\boxed{f'(x)=2x}$

• $g(x)$ est un produit. La dérivée de $x^2$ est $2x$. Si on multiplie par la constante $3$,  la dérivée de $3x^2$ vaut $6x$. La dérivée de $g$ vaut : 

$\boxed{g'(x)=6x}$

• $h(x)$ est une somme. La dérivée de $2x^3$ est $2\times 3x^2=6x^2$, et la dérivée de $-x^2$ est $-2x$. Donc : 

$\boxed{h'(x)=6x^2-2x}$

III. Variations d'une fonction 

Dans la première partie, on a vu que si une tangente $\mathcal T_A$ avait un coefficient directeur positif, alors la fonction était croissante. Il y a un lien entre le signe du nombre dérivé et les variations de la fonction.

A retenir :

• si $f'(x)$ > $0$ alors $f$ est croissante.

• si $f'(x)$ < $0$ alors $f$ est décroissante.

Exemple : Etablir les variations de la fonction $f$ définie sur $[-5\;;\;5]$ par $f(x)=x^3-12x+6$.

Solution : 

Calculons la dérivée. $f'(x)=3x^2-12$. On peut factoriser par $3$.

$f'(x)=3(x^2-4)$. On reconnaît une identité remarquable du type $a²-b²$.

$f'(x)=3(x-2)(x+2)$.

Etudions le signe de cette dérivée. $f'(x)$ est un produit de facteurs. Etudions le signe de chacun de ses termes, et récapitulons dans un tableau de signes.

$3$ est toujours positif.

$x-2$ > $0$ pour $x$ > $2$ (je mettrai un + dans le tableau à droite de la valeur $2$).

$x+2$ > $0$ pour $x$ > $-2$ (je mettrai un + dans le tableau à droite de la valeur $-2$).

La dernière ligne du tableau s'obtient en appliquant la règle des signes d'un produit.

De ce signe de la dérivée, nous allons en déduire ce qu'on appelle le tableau de variations de la fonction $f$.

• Sur la 1^re ligne est recopié l'ensemble de définition et les valeurs qui annulent la dérivée

• Sur la 2^e ligne, on recopie le signe de $f'(x)$ démontré auparavant.

• Sur la 3^e ligne on indique si la fonction $f$ est croissante ou décroissante à l'aide de flèches montantes ou descendantes.

On peut compléter ce tableau avec les valeurs image des points particuliers (ne pas hésiter à utiliser la fonction tableur de la calculatrice)

$f(-5)=-59\quad , \quad f(-2)=22$

$\quad f(2)=-10\quad , \quad f(5)=71$

Mise en garde : sur ce type de repère où les unités ne sont pas identiques sur les deux axes, bien lire les unités pour ne pas se tromper lors d'une lecture de coefficient directeur.