Équation d’une tangente à une courbe

Exercice 1

1. On sait que $A(1~;~2)$ et que $f'(1)=3$.

Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$.
Donc une équation de la tangente s’écrit : $y=3x+b$

Le point $A$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l’équation.

$2=3\times 1+b$

$2=3+b$

$b=2-3=-1$

La tangente a donc pour équation :

$y=3x-1$
👉 Conseil : toujours utiliser le point de tangence pour trouver $b$.

2. On sait que $A(-2~;~1)$ et que $f'(-2)=-2$.

Une équation de la tangente est : $y=-2x+b$

Le point $A$ appartient à la tangente, donc :

$1=-2\times(-2)+b$

$1=4+b$

$b=1-4=-3$

La tangente a pour équation : $y=-2x-3$
👉 Conseil : attention aux signes lorsque l’abscisse est négative.

Exercice 2

1. $\mathcal T_A~:~y=2x-1$.

a) Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$.
Ici, il vaut $2$.

b) Le nombre dérivé au point de tangence est égal au coefficient directeur.
Donc $f'(a)=2$.
👉 Conseil : dans une équation $y=mx+p$, le nombre dérivé vaut toujours $m$.

2. $\mathcal T_B~:~y=-0,5x+3$.

a) Le coefficient directeur est $-0,5$.

b) Comme le coefficient directeur est négatif, la tangente descend vers la droite.
Donc la fonction est décroissante au voisinage du point $B$.
👉 Conseil : signe du coefficient directeur = signe du nombre dérivé.

Exercice 3

1. Expliquer pourquoi une équation de la tangente en $A$ s’écrit $y=f'(a)x+b$.

La tangente en $A$ est une droite.
Le coefficient directeur de cette droite est le nombre dérivé $f'(a)$.
Or toute droite de coefficient directeur $m$ s’écrit $y=mx+b$.
Ici, $m=f'(a)$, donc l’équation s’écrit $y=f'(a)x+b$.
👉 Conseil : tangente = droite = forme $y=mx+b$.

2. Expliquer comment déterminer $b$.

Le point $A(a~;~f(a))$ appartient à la tangente.
On remplace donc $x$ par $a$ et $y$ par $f(a)$ dans l’équation :

$f(a)=f'(a)\times a+b$

On en déduit :

$b=f(a)-f'(a)\times a$
👉 Conseil : $b$ se trouve toujours en utilisant le point de tangence.

Exercice 4

On sait que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$.

1. Écriture de l’équation de la tangente.

Le coefficient directeur est $f'(2)=-1$.
Une équation de la tangente s’écrit donc : $y=-1x+b$

Le point de tangence est $A(2~;~5)$, donc :

$5=-1\times 2+b$

$5=-2+b$

$b=7$

La tangente a pour équation :

$y=-x+7$
👉 Conseil : écris toujours l’équation avant de chercher $b$.

2. Vérification.

On remplace $x$ par $2$ dans l’équation :

$y=-2+7=5$

On retrouve bien l’ordonnée du point $A$.
👉 Conseil : cette vérification peut permettre d’éviter les erreurs de calcul.

Exercice 5

1. Si $f'(0)=0$.

Le coefficient directeur est nul.
Une équation possible est : $y=0x+3$

soit : $y=3$
👉 Conseil : $f'(a)=0$ signifie tangente horizontale.

2. Si $f'(0)=2$.

Le coefficient directeur vaut $2$.
Une équation possible est : $y=2x+3$
👉 Conseil : plusieurs tangentes peuvent passer par le même point, mais avec des pentes différentes.

3. Différence graphique.

Dans le premier cas, la tangente est horizontale.
Dans le second cas, la tangente monte quand on va vers la droite.
👉 Conseil : c’est la valeur du nombre dérivé qui change l’inclinaison de la tangente.