Limite d'une fonction composée

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Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur deux ensembles $I$ et $J$ tels que l’image de $I$ par $u$ est contenue dans $J$ : $u(I) \subset J$.

La fonction obtenue en appliquant respectivement et successivement $u$ puis $v$ s’appelle la composée de $u$ par $v$ et est notée $v \circ u$ (lire "v rond u") ou parfois $v(u(x))$.

Pour tout réel $x \in I$, $v \circ u(x) = v(u(x))$.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x + 1) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Donc :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = v(u(x)) = +\infty$

Exemple :
Soit $f(x) = (-2x + 1)^2$.
On peut décomposer $f$ en enchaînement de fonctions :
$x \mapsto -2x + 1 \mapsto (-2x + 1)^2$

Avec :
$u(x) = -2x + 1$ et $v(x) = x^2$
$f(x) = v \circ u(x) = (-2x + 1)^2$

Propriété :
Soient $a$, $b$ et $\lambda$ désignant des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.
Si : $\displaystyle\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\displaystyle\lim_{x \to b} v(x) = \lambda$

Alors : $\displaystyle\lim_{x \to a} v \circ u(x) = \lambda$

Exemple :
Soit $h(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} = u \circ v(x)$

Avec :
$u(x) = \sqrt{x}$ et $v(x) = x^2 + x + 1$

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x + 1) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

Donc on a :
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} h(x) = +\infty$

Remarque 1 :
Attention à l'ordre dans lequel on écrit les fonctions. Dans la définition, $f$ est utilisée en premier et c'est la fonction située le plus à droite dans l'écriture $h=g \circ f$.Voyons un autre exemple :
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\left(\dfrac{x+1}{x^2+1}\right)^4$.
Si on appelle $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4$, alors $h(x)=g\circ f(x)$.

Remarque 2 :
Attention, la limite trouvée pour la fonction $f$ est utilisée comme valeur en laquelle on calcule la limite de la fonction $g$.

Exemple :
On veut calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{1}{x}+2}$.$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}+2\right) = 2 \\ \lim\limits_{x \to 2}\sqrt{x} = \sqrt{2}\end{matrix}\right.\implies \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{1}{x}+2} = \sqrt{2}$