Lien entre dérivée et variations d’une fonction

Exercice 1

On considère $f(x)=x^2-4x+1$.

1. Calcul de la dérivée.

La dérivée de $x^2$ est $2x$.
La dérivée de $-4x$ est $-4$.
La dérivée de $1$ est $0$.

Donc
$f'(x)=2x-4$.
👉 Conseil : dérive chaque terme séparément.

2. Factorisation.

$f'(x)=2x-4$
$f'(x)=2(x-2)$.
👉 Conseil : factoriser aide à étudier le signe.

3. Résolution de $f'(x)=0$.

$2(x-2)=0$
$x-2=0$
$x=2$.

4. Signe de $f'(x)$.

Le facteur $2$ est toujours positif.
Le signe de $f'(x)$ est le signe de $x-2$.

$x-2<0$ si $x<2$
$x-2=0$ si $x=2$
$x-2>0$ si $x>2$

Donc $f'(x)<0$ pour $x<2$ et $f'(x)>0$ pour $x>2$.
👉 Conseil : le signe de la dérivée change au point où elle s’annule.

5. Variations de $f$.

$f'(x)<0$ pour $x<2$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~2]$.
$f'(x)>0$ pour $x>2$ donc $f$ est croissante sur $[2~;~+\infty[$.
👉 Conseil : décroissante puis croissante $\Rightarrow$ minimum en $x=2$.

Exercice 2

On considère $g(x)=x^3-3x$.

1. Calcul de la dérivée.

La dérivée de $x^3$ est $3x^2$.
La dérivée de $-3x$ est $-3$.

Donc $g'(x)=3x^2-3$.

2. Factorisation.

$g'(x)=3(x^2-1)$
$g'(x)=3(x-1)(x+1)$.
👉 Conseil : reconnais les identités remarquables.

3. Signe de $g'(x)$.

$g'(x)=0$ pour $x=-1$ et $x=1$.

Entre ces valeurs :
$g'(x)>0$ pour $x<-1$
$g'(x)<0$ pour $-1<x<1$
$g'(x)>0$ pour $x>1$.

4. Variations.

$g$ est croissante sur $]-\infty~;~-1]$.
$g$ est décroissante sur $[-1~;~1]$.
$g$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.
👉 Conseil : le signe de la dérivée donne directement le sens de variation.

Exercice 3

On te donne le signe de $f'(x)$.

1. Variations de $f$.

$f'(x)<0$ pour $x<-1$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~-1]$.
$f'(x)>0$ pour $x>-1$ donc $f$ est croissante sur $[-1~;~+\infty[$.

2. Nature de l’extremum en $x=-1$.

La fonction passe de décroissante à croissante en $x=-1$.
Donc $f$ admet un minimum en $x=-1$.

3. Justification.

Le changement de signe de la dérivée de négatif à positif indique un minimum.
👉 Conseil : c’est le sens du changement qui compte, pas seulement l’annulation.

Exercice 4

1. Lecture des variations.

$f'(x)>0$ sur $[-5~;~-2]$ donc $h$ est croissante sur cet intervalle.
$f'(x)<0$ sur $[-2~;~3]$ donc $h$ est décroissante sur cet intervalle.
$f'(x)>0$ sur $[3~;~5]$ donc $h$ est croissante sur cet intervalle.

2. Abscisses des extremums.

La dérivée change de signe en $x=-2$ et en $x=3$.

3. Nature des extremums.

En $x=-2$, la fonction passe de croissante à décroissante : maximum.
En $x=3$, la fonction passe de décroissante à croissante : minimum.
👉 Conseil : croissante $\rightarrow$ décroissante = maximum.

Exercice 5

1. L’affirmation est fausse.

Une dérivée positive n’indique pas la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

2. Correction.

Si $f'(x)>0$, alors la fonction $f$ est croissante, c’est-à-dire que ses valeurs augmentent quand $x$ augmente.
👉 Conseil : la dérivée parle de variation, pas de signe de la fonction.