Calculer une fonction dérivée

Exercice 1 — Correction pas à pas

1. $f(x)=5$.

$f$ est une fonction constante.
La dérivée d’une fonction constante est nulle.

Donc $f'(x)=0$.
👉 Conseil : une fonction qui ne varie pas a une dérivée nulle.

2. $g(x)=x$.

$g$ est la fonction identité.
La dérivée de $x$ est $1$.

Donc $g'(x)=1$.
👉 Conseil : la fonction identité a toujours une pente égale à $1$.

3. $h(x)=x^2$.

On reconnaît la fonction carré.
La dérivée de $x^2$ est $2x$.

Donc $h'(x)=2x$.
👉 Conseil : pense à la règle «le $2$ descend devant».

4. $k(x)=x^3$.

On reconnaît la fonction cube.
La dérivée de $x^3$ est $3x^2$.

Donc $k'(x)=3x^2$.
👉 Conseil : la puissance diminue de $1$ lors de la dérivation.

Exercice 2

1. $f(x)=x^2+4$.

$f$ est une somme de deux fonctions.
La dérivée de $x^2$ est $2x$.
La dérivée de $4$ est $0$.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.

Donc $f'(x)=2x$.
👉 Conseil : les constantes disparaissent à la dérivation.

2. $g(x)=x^3-7$.

La dérivée de $x^3$ est $3x^2$.
La dérivée de $-7$ est $0$.

Donc $g'(x)=3x^2$.
👉 Conseil : le signe de la constante n’a aucune importance, sa dérivée est toujours $0$.

3. $h(x)=x^2+x$.

La dérivée de $x^2$ est $2x$.
La dérivée de $x$ est $1$.

Donc $h'(x)=2x+1$.
👉 Conseil : dérive chaque terme séparément.

Exercice 3

1. $f(x)=3x^2$.

$f$ est un produit d’un nombre réel et de $x^2$.
La dérivée de $x^2$ est $2x$.
On multiplie ensuite par $3$.

Donc $f'(x)=6x$.
👉 Conseil : le coefficient multiplicateur reste devant.

2. $g(x)=-2x^3$.

La dérivée de $x^3$ est $3x^2$.
On multiplie par $-2$.

Donc $g'(x)=-6x^2$.
👉 Conseil : attention au signe négatif, il est conservé.

3. $h(x)=5x$.

La dérivée de $x$ est $1$.
On multiplie par $5$.

Donc $h'(x)=5$.
👉 Conseil : une fonction affine $ax$ a une dérivée constante égale à $a$.

Exercice 4

On dérive chaque fonction.

$f(x)=x^2$ donne $f'(x)=2x$.

$g(x)=4x^3$ donne $g'(x)=12x^2$.

$h(x)=7$ est une fonction constante, donc $h'(x)=0$.

$k(x)=x$ est la fonction identité, donc $k'(x)=1$.

Les associations correctes sont donc :

$f(x)=x^2 \longleftrightarrow f'(x)=2x$
$g(x)=4x^3 \longleftrightarrow g'(x)=12x^2$
$h(x)=7 \longleftrightarrow h'(x)=0$
$k(x)=x \longleftrightarrow k'(x)=1$

👉 Conseil : repère d’abord les fonctions constantes et l’identité, ce sont les plus simples.

Exercice 5

On considère $f(x)=x^2+3x$.

1. Vérification.

La dérivée de $x^2$ est $2x$.
La dérivée de $3x$ est $3$.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées.

Donc $f'(x)=2x+3$.

L’affirmation de l’élève est correcte.

2. Méthode expliquée.

On dérive chaque terme de la fonction séparément, en utilisant les formules connues, puis on additionne les résultats.
👉 Conseil : ne dérive jamais toute l’expression d’un seul coup, sépare toujours les termes, cela peut te permettre d'éviter des erreurs.