Lecture globale, interprétation graphique et sens de la dérivée

Exercice 1

1. Les intervalles de croissance.

Une fonction est croissante sur les intervalles où la courbe monte quand on se déplace vers la droite.
On repère donc graphiquement les portions de la courbe où la tangente a une pente positive. Cela se produit sur $[-5~;~-2]$ puis sur $[2~;~5]$.
👉 Conseil : imagine que tu marches sur la courbe de gauche à droite.

2. Les intervalles de décroissance.

La fonction est décroissante sur les intervalles où la courbe descend vers la droite. Cela se produit sur $[-2~,~2]$.
Cela correspond à des tangentes de pente négative.
👉 Conseil : pente négative = la courbe descend.

3. Tangentes horizontales.

Une tangente est horizontale lorsque la courbe ne monte ni ne descend localement.
Ces points correspondent aux sommets ou aux creux de la courbe. Cela se produit pour $x=-2$ et pour $x=2$.
👉 Conseil : cherche les endroits où la courbe «change de sens».

4. Valeur de la dérivée.

En chacun de ces points, la dérivée vaut $0$.
👉 Conseil : tangente horizontale $\Rightarrow f'(x)=0$.

Exercice 2

1. Comparaison de $f'(a)$ et $g'(a)$.

Si la courbe de $f$ monte plus vite que celle de $g$ au point d’abscisse $a$, alors la tangente à $f$ est plus inclinée que celle de $g$.
Donc $f'(a)>g'(a)$.
👉 Conseil : plus la pente est forte, plus la dérivée est grande.

2. Explication graphique.

La tangente à la courbe de $f$ forme un angle plus grand avec l’axe des abscisses que celle de $g$.
Cela traduit une variation plus rapide de $f$ que de $g$ en ce point.
👉 Conseil : compare toujours les tangentes au même point.

Exercice 3

On lit le tableau de variations.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -4 & & -1 & & 2 & & 5 \\ \hline f(x) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array}$

1. Signe de $f'(x)$.

La fonction est décroissante sur $[-4~;~-1]$, donc $f'(x)<0$ sur cet intervalle.
La fonction est croissante sur $[-1~;~2]$, donc $f'(x)>0$ sur cet intervalle.
La fonction est décroissante sur $[2~;~5]$, donc $f'(x)<0$ sur cet intervalle.
👉 Conseil : variation et signe de la dérivée vont toujours ensemble.

2. Valeurs de $x$ telles que $f'(x)=0$.

La dérivée s’annule aux points où la fonction change de sens de variation.
Ici, cela se produit en $x=-1$ et en $x=2$.
👉 Conseil : changement de flèche = dérivée nulle.

3. Justification.

En $x=-1$, la fonction passe de décroissante à croissante.
En $x=2$, la fonction passe de croissante à décroissante.
Ces changements expliquent l’annulation de la dérivée.
👉 Conseil : le tableau de variations résume tout le comportement de la dérivée.

Exercice 4

1. Fonction croissante mais pas toujours positive.

   

Une fonction peut être croissante tout en restant en dessous de l’axe des abscisses.
Cela signifie simplement que ses valeurs augmentent, même si elles restent négatives.
👉 Conseil : croissante ne veut pas dire positive.

2. Fonction négative mais croissante.

Par exemple, une fonction peut passer de $-5$ à $-1$ quand $x$ augmente.
Elle est croissante, car $-1>-5$, mais ses valeurs sont négatives.
👉 Conseil : regarde l’évolution, pas la position par rapport à l’axe.

Exercice 5

1. Interprétation de $T'(8)>0$.

La dérivée est positive, donc la température augmente à $8$h.
👉 Conseil : dérivée positive = hausse.

2. Interprétation de $T'(14)=0$.

La dérivée est nulle, donc la température est stable à $14$h, ou atteint un maximum ou un minimum.
👉 Conseil : dérivée nulle = moment de transition possible.

3. Interprétation de $T'(20)<0$.

La dérivée est négative, donc la température diminue à $20$h.
👉 Conseil : dérivée négative = baisse.

4. Association.

$T'(t)>0$ $\Rightarrow$ hausse de la température
$T'(t)=0$ $\Rightarrow$ stabilisation ou extremum
$T'(t)<0$ $\Rightarrow$ baisse de la température