Fonction et géométrie

Partie A

1. Montrons que le volume de cette piscine est 91 m³ :
   $\mathscr{V} = \dfrac{(\text{AD} + \text{BC}) \times \text{AB}}{2} \times \text{AE} = \dfrac{(1,8 + 0,8) \times 14}{2} \times 5 = 91$
   D'où : le volume de cette piscine est 91 m³.

👉 Conseil : toujours vérifier que les unités de longueur sont les mêmes avant de calculer un volume.

2. a) Calculons le nombre de m³ d'eau restant dans la piscine au bout de 5 heures :
   Au bout de 5 heures, il y a eu $5 \times 5 = 25$ m³ d'eau enlevés de la piscine.
   Il reste donc $91 - 25 = 66$ m³ d'eau dans la piscine.

👉 Astuce : ici, on retire le volume écoulé (débit × temps) du volume total initial.

2. b) Représentons graphiquement la fonction $f$ dans le repère :
   La fonction $f$ est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine du repère.
   Déterminons deux points de la droite :
   $f(5) = 66$ (calcul effectué à la question précédente) et $f(16) = 91 - 5 \times 16 = 91 - 80 = 11$
   La droite passe par les points de coordonnées $(5 ; 66)$ et $(16 ; 11)$.

👉 Conseil : pour tracer une droite affine, deux points suffisent ; place-les soigneusement sur ton graphique.

2. c) Déterminer le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que $56$ m³ d'eau dans cette piscine :
   Graphiquement, le nombre d'heures nécessaires pour qu'il ne reste que $56$ m³ d'eau dans cette piscine est de $7$ heures (cf. pointillés rouges sur le graphique).

👉 Astuce : lis l’ordonnée correspondante à $56$m³ puis descends jusqu’à l’axe des abscisses.

2. d) Graphiquement, le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine est de $18,2$ heures (c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite représentant la fonction $f$ et l'axe des abscisses).

👉 Conseil : une piscine est « vide » lorsque la fonction vaut zéro, c’est-à-dire quand $f(x) = 0$.

2. e) Retrouvons ce dernier résultat par le calcul :
   Pour déterminer par le calcul le nombre d'heures nécessaires pour vider complètement la piscine, nous devons résoudre l'équation suivante :
   $f(x) = 0$
   $91 - 5x = 0$
   $5x = 91$
   $x = 18,2$

Nous avons donc retrouvé le résultat de la question précédente.
Et $0,2$ h $= 0,2 \times 60$ min $= 12$ min, donc il faut 18 h 12 min pour vider complètement la piscine.

👉 Astuce : pour convertir des heures décimales en minutes, multiplie la partie décimale par 60.

Partie B

1. Calculons les distances $IJ$ et $JK$ :
   $AE = 5$ m, donc $IJ = AE + 1,25 \times 2 = 5 + 2,5 = 7,5$
   D'où : $IJ = 7,5$ m $= 750$ cm

$AB = 14$ m $= EF$, donc $JK = EF + 2 \times 1,25 = 14 + 2,5 = 16,5$
D'où : $JK = 16,5$ m $= 1,650$ cm

👉 Conseil : multiplie toujours par 100 pour passer des mètres aux centimètres.

2. La longueur $a$ d'un panneau est un entier qui divise $IJ$ et $JK$.
   Le nombre $a$ est donc un diviseur de $750$ et $1~650$.
   De plus, on veut que le nombre $a$ soit le plus grand possible, c'est donc le plus grand commun diviseur de $750$ et $1~650$, donc
   $a = \text{PGCD}(1 650 ; 750)$.

👉 Astuce : le PGCD correspond à la plus grande longueur qui se répète exactement dans les deux mesures.

3. Calculons la valeur de $a$ :

Par la méthode des soustractions successives :
$\text{PGCD}(1 650 ; 750) = \text{PGCD}(900 ; 750)$ car $1 650 - 750 = 900$
$\text{PGCD}(900 ; 750) = \text{PGCD}(750 ; 150)$ car $900 - 750 = 150$
$\text{PGCD}(750 ; 150) = \text{PGCD}(600 ; 150)$ car $750 - 150 = 600$
$\text{PGCD}(600 ; 150) = \text{PGCD}(450 ; 150)$ car $600 - 150 = 450$
$\text{PGCD}(450 ; 150) = \text{PGCD}(300 ; 150)$ car $450 - 150 = 300$
$\text{PGCD}(300 ; 150) = \text{PGCD}(150 ; 150)$ car $300 - 150 = 150$
$\text{PGCD}(150 ; 150) = 150$
D'où : $\text{PGCD}(1 650 ; 750) = a = 150$

👉 Conseil : cette méthode reste fiable mais un peu longue : pense à l’algorithme d’Euclide pour aller plus vite !

En utilisant l'algorithme d'Euclide :
$1 650 = 750 \times 2 + 150$
$750 = 150 \times 5 + 0$
Le dernier reste non nul est 150, donc $\text{PGCD}(1 650 ; 750) = a = 150$
La longueur d'un panneau est de 150 cm.

👉 Conseil : Si on ne connaît aucune de ces deux méthodes, on peut chercher la liste des diviseurs de $1~650$ et de $750$ et prendre le plus grand élément commun à ces deux listes.

4. Déterminons le nombre de panneaux nécessaires pour clôturer la piscine :
   On a $750 = 150 \times 5$, il faut donc 5 panneaux pour clôturer la longueur $IJ$.
   $1 650 = 150 \times 11$, il faut donc 11 panneaux pour clôturer la longueur $JK$.
   D'où : il faut $(11 + 5) \times 2 = 16 \times 2 = 32$ panneaux pour former la clôture de la piscine.

👉 Astuce : pense à multiplier par 2 car la clôture a deux longueurs et deux largeurs.