Applications des multiples et diviseurs

Objectifs

• Résoudre des problèmes avec les multiples et diviseurs.

• Comprendre les relations entre les multiples.

• Appréhender les propriétés des multiples et des diviseurs.

I. Propriété 1

La somme de deux multiples d’un même nombre est également un multiple de ce nombre.
Si $a$ et $b$ sont des multiples de $c$, alors $a + b$ est aussi un multiple de $c$.

Démonstration :
Soit $a = k \times c$ et $b = m \times c$, où $k$ et $m$ sont des entiers. On a :
$a + b = (k \times c) + (m \times c) = (k + m) \times c$
Comme $k + m$ est un entier, on peut conclure que $a + b$ est un multiple de $c$.

II. Propriété 2

Le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Un nombre impair est de la forme $2n + 1$, où $n$ est un entier. Montrons que le carré d’un tel nombre est impair.

Démonstration :
Soit $a = 2n + 1$, où $n$ est un entier. Le carré de $a$ est :
$a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$
Comme $2n^2 + 2n$ est un entier, on peut écrire $a^2 = 2k + 1$, où $k$ est un entier. Ainsi, le carré de $a$ est de la forme d’un nombre impair, c'est-à-dire qu'il est impair.

Exemples

1. Exemple 1 : La somme de $12$ et $24$ est-elle un multiple de $12$ ?

   • $12$ est un multiple de $12$ car $12 = 1 \times 12$.

   • $24$ est un multiple de $12$ car $24 = 2 \times 12$.

   • La somme de $12$ et $24$ est $12 + 24 = 36$, qui est bien un multiple de $12$, car $36 = 3 \times 12$.

2. Exemple 2 : Le carré de $7$ est-il impair ?

   • $7$ est un nombre impair car il est de la forme $2n + 1$, avec $n = 3$.

   • Le carré de $7$ est $7^2 = 49$, qui est impair.

Exercices corrigés

1. Exercice 1 : Vérifiez si la somme de $18$ et $30$ est un multiple de $6$.

   • $18$ est un multiple de $6$ car $18 = 3 \times 6$.

   • $30$ est un multiple de $6$ car $30 = 5 \times 6$.

   • La somme de $18$ et $30$ est $18 + 30 = 48$, qui est bien un multiple de $6$, car $48 = 8 \times 6$.

2. Exercice 2 : Est-ce que le carré de $11$ est impair ?

   • $11$ est un nombre impair car il est de la forme $2n + 1$, avec $n = 5$.

   • Le carré de $11$ est $11^2 = 121$, qui est impair.