Introduire une fonction pour gérer un problème concret

On modélise la compensation par une fonction $f$ : à une baisse de $t$, elle associe la hausse $f(t)$ qui permet de revenir à la pression normale.

👉 Petit conseil : pour ce type d’exercice “baisse puis hausse”, prends une valeur de départ simple (par exemple $100$) : les pourcentages deviennent plus faciles à manipuler.

1°) Donner et justifier l’ensemble de définition de la fonction $f$.

On te dit : « la pression baisse régulièrement sans jamais excéder une perte de $20$ ».

• Une “baisse de $t$” signifie que $t$ est un taux de baisse, donc $t \ge 0$.

• “Sans jamais excéder $20\%$” signifie $t \le 20$.

Donc l’ensemble de définition est :
$f$ est définie pour $t \in [0;20]$.

👉 Petit conseil : même si plus tard on trouve une formule avec $100-t$ au dénominateur, ici le contexte impose déjà $t \le 20$, donc aucun risque d’avoir $100-t=0$.

2°) a) Si la pression baisse de $20\%$, calculer le taux de hausse qui compensera.

Prends une pression “normale” de $100$ (unités).

Après une baisse de 20_%, la pression devient :
$100 \times \left(1-\dfrac{20}{100}\right) = 100 \times 0{,}8 = 80$

On cherche la hausse en pourcentage pour passer de $80$ à $100$.

Si la hausse est de $x$, alors :
$80 \times \left(1+\dfrac{x}{100}\right) = 100$

Donc :
$1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{100}{80}=1{,}25$
$\dfrac{x}{100}=1{,}25-1=0{,}25$
$x=25$

Réponse : il faut une hausse de $25\%$.

👉 Petit conseil : “baisser de $20\%$ puis remonter de $20\%$” ne ramène pas au départ ! On doit remonter plus que $20\%$.

2°) b) Même question pour une baisse de $10\%$ (arrondir au centième).

Toujours en partant de $100$ :

Après une baisse de $10\%$ :
$100 \times \left(1-\dfrac{10}{100}\right) = 90$

On cherche $x$ tel que :
$90 \times \left(1+\dfrac{x}{100}\right) = 100$

Alors :
$1+\dfrac{x}{100}=\frac{100}{90}=1{,}\overline{1}$
$\dfrac{x}{100}= \dfrac{100}{90}-1=\dfrac{10}{90}=\dfrac{1}{9}$
$x=\dfrac{100}{9}=11{,}111...$

Arrondi au centième : $x \approx 11{,}11$

Réponse : il faut une hausse d’environ $11{,}11\%$.

👉 Petit conseil : quand tu passes de $90$ à $100$, tu augmentes de $10$; sur une base $90$, donc c’est $\dfrac{10}{90}$ et pas $\dfrac{10}{100}$.

3°) a) Établir que $f(t)=\dfrac{100t}{100-t}$

On note $P$ la pression normale.

Après une baisse de $t$, la pression devient :
$P \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right)$

Puis on applique une hausse de $f(t)$ :
$P \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{f(t)}{100}\right)$

Comme le système “ramène la pression à sa valeur normale”, on doit retrouver $P$ :
$P \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{f(t)}{100}\right) = P$

On divise par $P$ (qui est non nul) :
$\left(1-\dfrac{t}{100}\right) \times \left(1+\dfrac{f(t)}{100}\right) = 1$

Donc :
$1+\dfrac{f(t)}{100}=\dfrac{1}{1-\frac{t}{100}}$

Or :
$1-\dfrac{t}{100}=\dfrac{100-t}{100}$

Donc :
$1+\dfrac{f(t)}{100}=\dfrac{1}{\frac{100-t}{100}}=\dfrac{100}{100-t}$

Alors :
$\dfrac{f(t)}{100}=\dfrac{100}{100-t}-1=\dfrac{100-(100-t)}{100-t}=\dfrac{t}{100-t}$

Finalement :
$f(t)=\dfrac{100t}{100-t}$

👉 Petit conseil : retiens l’idée “je multiplie deux coefficients” :

baisse $\Rightarrow$ coefficient $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$;

hausse $\Rightarrow$ coefficient $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.

3°) b) Retrouver les résultats numériques du 2°).

• Pour $t=20$ :
  $f(20)=\dfrac{100\times 20}{100-20}=\dfrac{2000}{80}=25$
  On retrouve $25$.

• Pour $t=10$ :
  $f(10)=\dfrac{100\times 10}{100-10}=\dfrac{1000}{90}=11{,}111\ldots$
  Arrondi au centième : $11{,}11$.

👉 Petit conseil : pense à vérifier que $f(t)$ est un peu plus grand que $t$ (sauf $t=0$). C’est logique : on remonte sur une base plus petite.

3°) c) Compléter le tableau (arrondi au dixième).

On calcule $f(t)=\dfrac{100t}{100-t}$ pour chaque valeur de $t$.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\\hline f(t) & 0{,}0 & 2{,}0 & 4{,}2 & 6{,}4 & 8{,}7 & 11{,}1 & 13{,}6 & 16{,}3 & 19{,}0 & 22{,}0 & 25{,}0 \\ \hline \end{array}$

👉 Petit conseil : pour l’arrondi au dixième, regarde le chiffre des centièmes : s’il est $\ge 5$, tu augmentes le dixième d’une unité.

3°) d) Interpréter la colonne $16$ du tableau précédent.

La colonne $16$ correspond à une baisse de $16\%$.

On lit dans le tableau : $f(16) \approx 19{,}0$

Interprétation : si la pression baisse de $16\%$, alors le système doit augmenter la pression d’environ $19{,}0\%$ (par rapport à la pression après la baisse) pour revenir à la pression normale.

👉 Petit conseil : précise toujours “par rapport à quoi” est calculée la hausse : ici, c’est par rapport à la pression qui a déjà baissé.