Les fonctions affines

I. Définitions

Soit $f$ une fonction affine, définie par $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

Remarque : Si le nombre $b=0$ on parle alors de fonction linéaire.

Ainsi la fonction définie par $f(x)=3x$ est linéaire. En revanche, la fonction définie par $f(x)=2x^2-3$ n'est ni linéaire, ni affine.

Définition :

Soit $f$ une fonction affine définie pour tous réels $x$ par $f(x)=ax+b$. Le nombre $a$ est appelé coefficient directeur de la fonction et $b$ l'ordonnée à l'origine.

Le coefficient directeur indique « la vitesse » à laquelle la fonction progresse verticalement et l'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentant la fonction et l'axe des ordonnées.

II. Lectures de $a$ et $b$ sur la représentation graphique

$1.$ $f(0)=2\times 0+1$ donc $f(0)=1$. La courbe passe par le point de coordonnées $(0; 1)$.

La valeur $1$ s'appelle l'ordonnée à l'origine.

L'ordonnée à l'origine est donc l'ordonnée du point d'intersection entre la droite représentative de $f$ et l'axe des ordonnées.

$2.$ $f(3)=2\times 3+1=7$ donc la droite passe par le point de coordonnées $(3;7)$.

$f(4)=2\times 4+1=9$ donc la droite passe par le point de coordonnées $(4;9)$.

Quand la variable $x$ passe de $3$ à $4$, la variable augmente de $4-3=1$.

Simultanément, $f(x)$ passe de $f(3)=7$ à $f(4)=9$ et les ordonnées augmentent de $9-7=2$ (voir dessin) ; la valeur $2$ étant le coefficient directeur.

Lecture du coefficient directeur de $f$.

On peut donc lire sur le graphique la valeur du coefficient directeur de la fonction affine $f$ en prenant deux points de la droite dont les abscisses diffèrent de $1$.

La valeur du coefficient directeur permet également de savoir si la droite "monte" ou "descend".

Remarque : On sait que pour $a=0$, la fonction est constante et que sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

III. Comparaison des images de deux valeurs

Si la droite "monte", les images sont rangées dans le même ordre que les deux valeurs.

Si la droite "descend", les images sont rangées en sens contraire.

IV. Déterminer une fonction affine connaissant deux points de sa représentation graphique

Propriété : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$. Alors, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ distincts, on a : $a=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

Exemple :

On considère la fonction affine $f$ telle que $f(1)=2$ et $f(3)=-4$. On veut déterminer l'expression algébrique de cette fonction.

L'expression algébrique de cette fonction est de la forme $f(x)=ax+b$.

D'après la propriété ci-dessus, on a :
$a=\dfrac{2-(-4)}{1-3}=\dfrac{6}{-2}=-3$

Ainsi, $\boxed{f(x)=-3x+b}$.
On sait que $f(1)=2$. Mais on a également $f(1)=-3\times1+b=-3+b$.
Par conséquent, $-3+b=2$ d'où $b=5$.

Finalement, une expression algébrique de $f$ est $\boxed{f(x)=-3x+5}$.

On peut vérifier la valeur de $f(3)$.
$f(3)=-3\times3+5=−9+5=−4$ ce qui correspond bien à l'énoncé.