Multiple et diviseur

I. Rappel : les entiers

• $\mathbb{N}$ : ensemble des entiers naturels, incluant $0, 1, 2, 3, \dots$.

• $\mathbb{Z}$ : ensemble des entiers relatifs, incluant les entiers négatifs, $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.

Exemples :

1. L'ensemble $\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ représente tous les nombres entiers positifs et $0$.

2. L'ensemble $\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}$ comprend les entiers positifs, négatifs et $0$.

Exercices corrigés :

1. Exercice : Quel est l'élément de $\mathbb{N}$ qui suit immédiatement $5$ ?

   • Réponse : $6$, car dans l'ensemble $\mathbb{N}$, les entiers naturels suivent l'ordre croissant sans sauter.

2. Exercice : Trouvez les éléments de $\mathbb{Z}$ entre $-2$ et $2$.

   • Réponse : $-1, 0, 1$.

II. Multiple et diviseur

• Un nombre $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si il existe un entier $k$ tel que $a = k \times b$.

• Un nombre $b$ est un diviseur de $a$ si $a \div b$ donne un entier.

Exemples :

1. $12$ est un multiple de $4$, car $12 = 3 \times 4$.

2. $4$ est un diviseur de $12$, car $12 \div 4 = 3$.

Exercices corrigés :

1. Exercice : Est-ce que $18$ est un multiple de $6$ ?

   • Réponse : Oui, car $18 = 3 \times 6$.

2. Exercice : Est-ce que $5$ est un diviseur de $25$ ?

   • Réponse : Oui, car $25 \div 5 = 5$.

III. Les nombres pairs et impairs

• Un nombre pair est un entier divisible par $2$.

• Un nombre impair est un entier qui, lorsqu'il est divisé par $2$, donne un reste de $1$.

• Pour un nombre $n$, si $n \div 2$ donne un reste de $0$, $n$ est pair, sinon il est impair.

Exemples :

1. $6$ est pair car $6 \div 2 = 3$ (sans reste).

2. $7$ est impair car $7 \div 2 = 3$ (reste de $1$).

Exercices corrigés :

1. Exercice : Est-ce que $10$ est pair ou impair ?

   • Réponse : Pair, car $10 \div 2 = 5$ (sans reste).

2. Exercice : Est-ce que $13$ est pair ou impair ?

   • Réponse : Impair, car $13 \div 2 = 6$ (reste de $1$).