Fonction croissante, fonction décroissante, taux de variation

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-2$.

1. Comparer $f(a)$ et $f(b)$ lorsque $a\le b$.
   On calcule $f(b)-f(a)$.
   $f(b)-f(a)=(3b-2)-(3a-2)$
   $f(b)-f(a)=3(b-a)$.

Si $a\le b$, alors $b-a\ge0$, donc $3(b-a)\ge0$.
Ainsi $f(b)-f(a)\ge0$, donc $f(b)\ge f(a)$.

👉 Petit conseil : comparer $f(a)$ et $f(b)$ revient souvent à étudier le signe de $f(b)-f(a)$.

2. En déduire si la fonction $f$ est croissante ou décroissante sur $\mathbb{R}$.
   On doit obligatoirement passer par le taux de variation pour tout couple de réels.

Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques de $\mathbb{R}$, avec $a<b$.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ vaut
$\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

On calcule :
$\tau=\dfrac{(3b-2)-(3a-2)}{b-a}$
$\tau=\dfrac{3b-3a}{b-a}$
$\tau=\dfrac{3(b-a)}{b-a}$
$\tau=3$.

Comme $3>0$, on a $\tau>0$ pour tout couple $a<b$.
Donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Exemple (simple vérification) : $f(0)=-2$ et $f(1)=1$, on voit bien que ça augmente.

👉 Petit conseil : pour une fonction affine $ax+b$, le taux de variation entre $a$ et $b$ est constant et vaut $a$.

3. Préciser si la fonction $f$ est monotone sur $\mathbb{R}$.
   Sur $\mathbb{R}$, on a montré que $f$ est croissante.
   Donc $f$ est monotone sur $\mathbb{R}$.

👉 Petit conseil : monotone sur un intervalle signifie “toujours dans le même sens” sur cet intervalle.

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2x+5$.

1. Calculer $g(1)$ et $g(4)$.
   $g(1)=-2\times1+5=-2+5=3$.
   $g(4)=-2\times4+5=-8+5=-3$.

👉 Petit conseil : quand tu remplaces $x$ par un nombre négatif ou que le coefficient est négatif, écris bien les parenthèses.

2. Comparer $g(1)$ et $g(4)$.
   On a $g(1)=3$ et $g(4)=-3$.
   Donc $g(1)>g(4)$.

Exemple : $1<4$ mais $g(1)>g(4)$, ça illustre une baisse.

👉 Petit conseil : une comparaison sur deux valeurs sert seulement d’illustration, pas de preuve.

3. Déterminer si la fonction $g$ est croissante ou décroissante sur $\mathbb{R}$.
   On passe par le taux de variation pour tout couple.

Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques avec $a<b$.
Le taux de variation de $g$ entre $a$ et $b$ est
$\tau=\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}$.

On calcule :
$\tau=\dfrac{(-2b+5)-(-2a+5)}{b-a}$
$\tau=\dfrac{-2b+5+2a-5}{b-a}$
$\tau=\dfrac{2a-2b}{b-a}$
$\tau=\dfrac{-2(b-a)}{b-a}$
$\tau=-2$.

Comme $-2<0$, on a $\tau<0$ pour tout couple $a<b$.
Donc $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

👉 Petit conseil : taux de variation toujours négatif sur l’intervalle = fonction décroissante sur cet intervalle.

4. Conclure sur la monotonie de $g$.
   Comme $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, elle est monotone sur $\mathbb{R}$.

👉 Petit conseil : si la fonction est décroissante sur tout l’intervalle, elle est monotone sur cet intervalle.

Exercice 3

On considère la fonction $h$ définie sur $[-2~;~6]$ par $h(x)=(x-2)^2-1$.

1. Tracer une ébauche de la courbe représentative de la fonction $h$.
   La fonction $h(x)=(x-2)^2-1$ est une parabole ouverte vers le haut.
   Son sommet est $S(2~;~-1)$ et l’axe de symétrie est $x=2$.

On place quelques points :
$h(1)=(1-2)^2-1=0$ donc $(1~;~0)$.
$h(3)=(3-2)^2-1=0$ donc $(3~;~0)$.
$h(0)=(0-2)^2-1=3$ donc $(0~;~3)$.
$h(4)=(4-2)^2-1=3$ donc $(4~;~3)$.

👉 Petit conseil : prends des points symétriques autour de $x=2$ pour tracer plus vite.

2. Indiquer les intervalles où la fonction est croissante.
   On veut une justification par taux de variation sur l’intervalle considéré.

Sur $[2~;~6]$, soient $a$ et $b$ deux réels tels que $2\le a<b\le6$.
Le taux de variation vaut
$\tau=\dfrac{h(b)-h(a)}{b-a}$.

Or
$h(b)-h(a)=\left((b-2)^2-1\right)-\left((a-2)^2-1\right)$
$h(b)-h(a)=(b-2)^2-(a-2)^2$
$h(b)-h(a)=\left((b-2)-(a-2)\right)\left((b-2)+(a-2)\right)$
$h(b)-h(a)=(b-a)(a+b-4)$.

Donc
$\tau=\dfrac{(b-a)(a+b-4)}{b-a}=a+b-4$.

Comme $a\ge2$ et $b\ge2$, on a $a+b-4\ge0$, donc $\tau\ge0$.
Ainsi $h$ est croissante sur $[2~;~6]$.

Exemple : $h(2)=-1$ et $h(3)=0$, ça monte bien.

👉 Petit conseil : après simplification, tu dois obtenir une expression dont tu peux garantir le signe grâce aux bornes de l’intervalle.

3. Indiquer les intervalles où la fonction est décroissante.
   Sur $[-2~;~2]$, soient $a$ et $b$ deux réels tels que $-2\le a<b\le2$.
   On a toujours $\tau=a+b-4$.

Ici, comme $a\le2$ et $b\le2$, on a $a+b\le4$, donc $a+b-4\le0$.
Ainsi $\tau\le0$ pour tout couple $a<b$ de $[-2~;~2]$.
Donc $h$ est décroissante sur $[-2~;~2]$.

Exemple : $h(1)=0$ et $h(2)=-1$, ça descend.

👉 Petit conseil : pour prouver “décroissante”, tu dois obtenir un taux $\tau\le0$ pour tout couple de l’intervalle.

Exercice 4

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~5]$ par $f(x)=x^2$.

1. Entre $1$ et $3$ :
   $\tau=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.

2. Entre $2$ et $4$ :
   $\tau=\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.

3. Conjecture sur $[0~;~5]$.
   On remarque que les taux calculés sont positifs.
   On conjecture donc que la fonction carré est croissante sur $[0~;~5]$.

👉 Petit conseil : ici on te demande une conjecture, donc des exemples suffisent, mais une preuve complète demanderait le taux de variation pour tout couple de $[0~;~5]$.

Exercice 5

On considère la fonction $k$ définie sur $[-1~;~7]$ par $k(x)=-x^2+6x-5$.

1. Tracer une ébauche.
   On met sous forme canonique :
   $k(x)=-(x-3)^2+4$.
   Sommet $S(3~;~4)$, parabole ouverte vers le bas.

Points :
$k(0)=-5$ donc $(0~;~-5)$.
$k(6)=-5$ donc $(6~;~-5)$.
$k(2)=3$ donc $(2~;~3)$.
$k(4)=3$ donc $(4~;~3)$.

👉 Petit conseil : forme canonique = moyen le plus rapide pour lire le sommet.

2. Intervalles de croissance (preuve par taux de variation).
   Sur $[-1~;~3]$, soient $a$ et $b$ tels que $-1\le a<b\le3$.
   Le taux de variation vaut
   $\tau=\dfrac{k(b)-k(a)}{b-a}$.

On calcule :
$k(b)-k(a)=(-b^2+6b-5)-(-a^2+6a-5)$
$k(b)-k(a)=-b^2+6b+a^2-6a$
$k(b)-k(a)=(a^2-b^2)+6(b-a)$
$k(b)-k(a)=(a-b)(a+b)+6(b-a)$
$k(b)-k(a)=(b-a)\left(6-(a+b)\right)$.

Donc
$\tau=\dfrac{(b-a)\left(6-(a+b)\right)}{b-a}=6-(a+b)$.

Sur $[-1~;~3]$, on a $a\le3$ et $b\le3$, donc $a+b\le6$, ainsi $6-(a+b)\ge0$.
Donc $\tau\ge0$ pour tout couple $a<b$ de $[-1~;~3]$.
Ainsi $k$ est croissante sur $[-1~;~3]$.

Exemple : $k(2)=3$ et $k(3)=4$, ça augmente.

👉 Petit conseil : pour conclure, tu dois obtenir un taux dont tu contrôles le signe grâce aux bornes de l’intervalle.

3. Intervalles de décroissance (preuve par taux de variation).
   Sur $[3~;~7]$, soient $a$ et $b$ tels que $3\le a<b\le7$.
   On a encore
   $\tau=6-(a+b)$.

Sur $[3~;~7]$, on a $a\ge3$ et $b\ge3$, donc $a+b\ge6$, ainsi $6-(a+b)\le0$.
Donc $\tau\le0$ pour tout couple $a<b$ de $[3~;~7]$.
Ainsi $k$ est décroissante sur $[3~;~7]$.

Exemple : $k(3)=4$ et $k(4)=3$, ça descend.

👉 Petit conseil : même méthode que pour la croissance, mais cette fois tu dois obtenir $\tau\le0$.

4. Monotonie sur $[-1~;~7]$.
   Sur $[-1~;~3]$ la fonction est croissante, puis sur $[3~;~7]$ elle est décroissante.
   Le sens de variation change sur $[-1~;~7]$.
   Donc $k$ n’est pas monotone sur $[-1~;~7]$.

👉 Petit conseil : si la fonction change de sens (croissante puis décroissante), elle n’est pas monotone sur tout l’intervalle.