Lien entre courbe et tableau de variations d'une fonction

Exercice 1 — Lire une courbe et construire un tableau de variations

On considère la courbe représentative d’une fonction $f$ .

La courbe passe par les points
$(-4~;~-2)$, $(0~;~3)$, $(2,6~;~5,2)$ et $(6~;~-1)$.

De plus :

• la fonction est croissante de $x=-4$ jusqu’à $x=2,6$ ;

• la fonction est décroissante de $x=2,6$ jusqu’à $x=6$.

1. Donner l’ensemble de définition $\mathcal D_f$ de la fonction $f$.
   Comme la fonction est étudiée de $x=-4$ jusqu’à $x=6$, cela signifie que les valeurs possibles de $x$ vont de $-4$ à $6$ inclus.
   Donc $\mathcal D_f=[-4~;~6]$.

👉 Petit conseil : l’ensemble de définition, c’est l’intervalle “où on peut lire la courbe”, du plus petit $x$ au plus grand $x$.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
   On place d’abord sur la ligne des $x$ les bornes de l’intervalle et le point où le sens de variation change.
   Ici, $f$ est croissante de $-4$ à $2,6$, puis décroissante de $2,6$ à $6$. Donc le changement se fait en $x=2$.

Ensuite, on place les valeurs de la fonction connues aux points importants :
$f(-4)=-2$, $f(2,6)=5,2$, $f(6)=-1$.

On ajoute les flèches :

• flèche montante sur $[-4~;~2]$ ;

• flèche descendante sur $[2~;~6]$.

Tableau de variations :

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -4 & 2,6 & 6 \\ \hline f(x) & _{-2} & \nearrow~^{5,2}~\searrow & _{-1} \\ \hline \end{array}$

👉 Petit conseil : la valeur au sommet de la “montée” (ici en $x=2,6$) est très souvent un maximum si ensuite ça redescend.

3. Préciser la valeur maximale de $f$ et l’abscisse à laquelle elle est atteinte.
   La fonction est croissante jusqu’à $x=2,6$, donc elle atteint sa plus grande valeur au point où elle cesse de croître, c’est-à-dire en $x=2,6$.
   Or $f(2,6)=5,2$.
   Donc la valeur maximale de $f$ est $5,2$, atteinte pour $x=2,6$.

👉 Petit conseil : “maximum” = plus grande valeur de $f(x)$ sur l’intervalle, souvent au point où la flèche s’inverse.

Exercice 2 — Construire une courbe à partir d’un tableau de variations

On donne le tableau de variations d’une fonction $g$ définie sur $[-3~;~5]$.

$\begin{array} {|c|cccccccc|}\hline x &-3& & -0,9 & & 3,7 & & 5 & \\\hline g(x)& _{-1}& \nearrow &^{5,8} & \searrow & _{-2}& \nearrow & ^0& \\ \hline \end{array}$

1. Indiquer les intervalles sur lesquels la fonction $g$ est croissante.
   Dans le tableau, on voit une flèche montante entre $-3$ et $1$, puis une flèche montante entre $4$ et $5$.
   Donc $g$ est croissante sur $[-3~;~1]$ et sur $[4~;~5]$.

👉 Petit conseil : flèche $\nearrow$ = croissante (quand $x$ augmente, $g(x)$ augmente).

2. Indiquer les intervalles sur lesquels la fonction $g$ est décroissante.
   On voit une flèche descendante entre $1$ et $4$.
   Donc $g$ est décroissante sur $[1~;~4]$.

👉 Petit conseil : flèche $\searrow$ = décroissante (quand $x$ augmente, $g(x)$ diminue).

3. Tracer une courbe possible représentant la fonction $g$.
   On place d’abord les points dont on connaît les coordonnées :
   $(-3~;~-1)$, $(1~;~3)$, $(4~;~-2)$, $(5~;~0)$.

   

Ensuite :

• on relie $(-3~;~-1)$ à $(1~;~3)$ par une courbe qui monte (croissance) ;

• on relie $(1~;~3)$ à $(4~;~-2)$ par une courbe qui descend (décroissance) ;

• on relie $(4~;~-2)$ à $(5~;~0)$ par une courbe qui remonte (croissance).

👉 Petit conseil : une courbe “possible” n’a pas besoin d’être une parabole ou une droite : l’important est de respecter les variations et de passer par les points.

4. La courbe tracée est-elle unique ? Justifier.
   Non, elle n’est pas unique.
   Le tableau donne seulement :

• des valeurs exactes en quelques points ;

• le sens de variation sur chaque intervalle.

Entre deux abscisses, il existe une infinité de courbes différentes possibles qui respectent ces contraintes.

👉 Petit conseil : un tableau de variations ne fixe pas la “forme” exacte de la courbe, seulement son comportement général.

Exercice 3 — Compléter un tableau de variations à partir d’informations graphiques

Une fonction $h$ est définie sur $[-5~;~7]$.
On sait que :

• $h(-5)=4$ ;

• $h(0)=-2$ ;

• $h(3)=1$ ;

• $h(7)=1$ ;

• $h$ est décroissante sur $[-5~;~0]$ ;

• $h$ est croissante sur $[0~;~3]$ ;

• $h$ est constante sur $[3~;~7]$.

Tableau à compléter :

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & -5 & 0 & 3 & 7 \\ \hline h(x) & 4 & & & 1 \\ \hline \end{array}$

1. Compléter le tableau de variations.
   On remplit d’abord les valeurs :
   $h(-5)=4$, $h(0)=-2$, $h(3)=1$, $h(7)=1$.

Puis on met les flèches selon les sens de variation :

• décroissante sur $[-5~;~0]$ donc flèche descendante de $4$ vers $-2$ ;

• croissante sur $[0~;~3]$ donc flèche montante de $-2$ vers $1$ ;

• constante sur $[3~;~7]$ donc “pas de montée ni descente”, on garde la même valeur $1$.

Tableau complété :

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & -5 & 0 & 3 & ~7 \\ \hline h(x) & ^4 & \searrow~_{-2}~\nearrow & ^1 &^{\to 1 }\\ \hline \end{array}$

👉 Petit conseil : “constante” signifie que la valeur ne change pas : même nombre au début et à la fin de l’intervalle.

2. Indiquer un minimum de la fonction $h$ et l’abscisse correspondante.
   La fonction décroît de $-5$ à $0$, donc elle atteint sa plus petite valeur en $x=0$ sur cet intervalle.
   Puis elle croît de $0$ à $3$, donc $x=0$ reste le point le plus bas.
   Or $h(0)=-2$.
   Donc le minimum de $h$ sur $[-5~;~7]$ est $-2$, atteint pour $x=0$.

👉 Petit conseil : un minimum se situe souvent au “creux” du tableau, là où on passe de $\searrow$ à $\nearrow$.

3. Indiquer sur quel intervalle la fonction $h$ est monotone.
   La fonction n’est pas monotone sur tout $[-5~;~7]$ car elle change de sens (décroissante puis croissante puis constante).
   En revanche, elle est monotone sur chacun des intervalles où le sens ne change pas :

• monotone décroissante sur $[-5~;~0]$ ;

• monotone croissante sur $[0~;~3]$ ;

• monotone (constante) sur $[3~;~7]$.

👉 Petit conseil : monotone sur un intervalle = un seul comportement sur tout l’intervalle (toujours $\nearrow$, toujours $\searrow$, ou toujours constant).