Fonction croissante, fonction décroissante, taux de variation

I. Fonctions croissantes

Définition :
On dit qu'une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous $a$ et $b$ $\in I$, on a : $a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)$.

Remarque : l'ordre est conservé.
Représentation graphique :

Exemple :

Reprenons la représentation graphique de la fonction $f$ définie par : $f (x) = (x - 2)^2 - 5$

La fonction $f$ définie par : $f (x) = (x - 2)^2 - 5$ est croissante sur l'intervalle $[2\, ; \,5]$ (voire sur$[2\, ; +\infty[$).

II. Fonctions décroissantes

Définition :
On dit qu'une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque :
pour tous $a$ et $b$ $\in I$, on a : $a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b)$.

Remarque : l'ordre est inversé.
Représentation graphique :

Exemple :
La fonction $f$ définie par : $f (x) = (x - 2)^2 - 5$ est décroissante sur l'intervalle $[-1\, ;\, 2]$ (voire sur$]-\infty \,; \,2]$).

Fonction monotone :

Définition

Lorsque, sur un intervalle, une fonction est soit toujours croissante, soit toujours décroissante, on dit qu'elle est monotone sur cet intervalle.

III. Exercice

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1\,;\,7]$ par $f(x)=-x^2+6x-5$.

$1.$ Tracer une ébauche de la courbe représentative.

$2.$ Donner les intervalles où cette courbe est croissante, est décroissante.

Solution :

$1.$ $2.$ La fonction est croissante sur $[-1\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,7]$.

IV. Taux d'accroissement

Définition

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant deux nombres $a$ et $b$ distincts. On appelle taux d'accroissement de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ le réel $\tau$ (ici lettre grecque qui se lit "tau") tel que :

$\boxed{\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Si $f$ est croissante, $f(b)$ et $f(a)$ sont rangés dans le même ordre que $b$ et $a$, donc $\tau \ge 0$

et inversement si $\tau \ge 0$ alors le quotient est positif ce qui signifie que $f(b)$ et $f(a)$ sont rangés dans le même ordre que $b$ et $a$, c'est-à-dire la fonction $f$ est croissante.

De même : $f$ est décroissante sur un intervalle équivaut à dire que le taux de variation est négatif pour tout couple de valeurs $a$ et $b$ de cet intervalle.

Application : Montrons que la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Soient $a$ et $b$ deux réels distincts de $[0\,;\,+\infty[$. Si je nomme $f$ la fonction carré :

$\tau=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{b^2-a^2}{b-a}$

$\tau=\dfrac{{\cancel{(b-a)}}(b+a)}{\cancel{b-a}}=b+a$

Or, $a$ et $b$ sont deux nombres positifs ou nuls (non simultanément), donc $b+a > 0$.

Le taux d'accroissement est positif sur $[0\,;\,+\infty[$, la fonction carré est croissante sur cet intervalle.

Remarque : le taux étant strictement positif, on dit que la courbe est strictement croissante.