Variation d’une fonction et taux de variation

En mathématiques comme en sciences, on étudie souvent comment une grandeur évolue.
Une fonction permet de modéliser cette évolution.

I. Taux de variation

Si $f$ est une fonction et si $x_1$ et $x_2$ sont deux nombres réels, la variation de la fonction entre ces deux valeurs est donnée par la différence : $f(x_2)-f(x_1)$

Pour comparer cette variation à celle de la variable $x$, on introduit le taux de variation.

Définition :

Le taux de variation de $f$ entre $x_1$ et $x_2$ est : $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Ce nombre mesure la variation moyenne de la fonction lorsque la variable passe de $x_1$ à $x_2$.

II. Interprétation graphique

Dans un repère, le taux de variation correspond à la pente de la droite sécante passant par les points de la courbe d’abscisses $x_1$ et $x_2$.

Exemple

On considère la fonction : $f(x)=x^2$

Entre $x_1=1$ et $x_2=3$ :

$f(1)=1$
$f(3)=9$

Le taux de variation vaut : $\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$

La fonction augmente en moyenne de $4$ unités lorsque $x$ augmente d’une unité sur cet intervalle.

III. Et en physique ?

Si $x$ représente le temps et $f(x)$ la position d’un mobile, alors $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ représente la vitesse moyenne du mobile.

Ainsi, la notion de taux de variation permet de relier les mathématiques à l’étude du mouvement.

Exemple :

On étudie le déplacement d’une voiture sur une route rectiligne.
On note $t$ le temps (en secondes) et $f(t)$ la position de la voiture sur la route (en mètres).

On mesure la position du véhicule à deux instants.

À l’instant $t_1=2$ s, la voiture est à : $f(2)=40$ m

À l’instant $t_2=6$ s, la voiture est à : $f(6)=100$ m

La voiture a donc parcouru : $100-40=60$ m pendant une durée de : $6-2=4$ s.

La vitesse moyenne entre ces deux instants est donc : $\dfrac{f(6)-f(2)}{6-2}=\dfrac{60}{4}=15$

La vitesse moyenne est donc 15 m/s.

Interprétation

Cela signifie que, pendant cet intervalle de temps, la voiture s’est déplacée comme si elle roulait constamment à 15 m/s.

Interprétation graphique

Si l’on représente la position $f(t)$ en fonction du temps :

• les points $(2,40)$ et $(6,100)$ appartiennent à la courbe ;

• la pente de la droite passant par ces deux points correspond à : $\dfrac{f(6)-f(2)}{6-2}$

Cette pente représente la vitesse moyenne du mobile.

Remarque :

Si l’on réduit de plus en plus l’intervalle de temps autour d’un instant $t_0$, alors la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée : $f'(t_0)$

C’est cette idée qui conduit à la notion de dérivée en mathématiques.